Question

因數(shù)和是指一個數(shù)所有因數(shù)的和，例如“6”的因數(shù)和是1+2+3+6=12．
（1）24的因數(shù)和是多少？
（2）一個自然數(shù)有5個因數(shù)，求因數(shù)和最小是多少？
（3）一個數(shù)的因數(shù)和是78，求這個數(shù)是多少？

Answer 1

考點：約數(shù)個數(shù)與約數(shù)和定理

專題：

分析：（1）把24分解質(zhì)因數(shù)，求和即可；
（2）一個自然數(shù)有5個因數(shù)，因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)個，所以它是完全平方數(shù)，這個自然數(shù)只能是某個數(shù)的4次方，這個自然數(shù)最小是2⁴據(jù)此解答；
（3）把78分解質(zhì)因數(shù)，

解答： 解：60；31；45
（1）24=2³×3，所以因數(shù)和為：（1+2+4+8）×（1+3）=60；

（2）5不能分解質(zhì)因數(shù)了，這個自然數(shù)只能是某個數(shù)的5-1=4次方，這個數(shù)最小是2⁴，因此因數(shù)和最小為：2⁰+2¹+2²+2³+2⁴=+1+2+4+8+16=31；

（3）78=2×3×13=6×13，分解各個因數(shù)，看是否能組成各個數(shù)（1+a+a²+a³+…）的形式相乘；
經(jīng)試驗，78=2×3×13，（1+1）×（1+2）×（1+3+9），2=1+1，不和題意舍去；
78=6×13，可以得出（1+5）×（1+3+9）符合要求，
所以這個數(shù)為：5¹×3²=5×3×3=45；

點評：此題是數(shù)論中的約數(shù)個數(shù)問題以及因數(shù)和公式的逆運用，關(guān)鍵是知道因數(shù)和公式是什么，即（簡單地說就是每個質(zhì)因數(shù)從0次方加到它的最高次方，然后連乘）．