Question

已知對任意正整數(shù)n，都有公式：1²+2²+…+n²=

n×(n+1)×(2n+1)

6

，求分?jǐn)?shù)

12×(12+22)×(12+22+32)×…×(12+22+…+1002)

100!

化成最簡分?jǐn)?shù)后的分母．

Answer 1

考點(diǎn)：繁分?jǐn)?shù)的化簡

專題：計算問題（巧算速算）

分析：首先把分?jǐn)?shù)

12×(12+22)×(12+22+32)×…×(12+22+…+1002)

100!

化簡，然后分別找出分母、分子中因數(shù)2、3的個數(shù)，進(jìn)而求出化成最簡分?jǐn)?shù)后的分母即可．

解答： 解：根據(jù)題意，可得12=

1×2×3

6

，12+22=

2×3×5

6

，12+22+32=

3×4×7

6

，…1²+2²+…+n²=

n×(n+1)×(2n+1)

6

，
所以

12×(12+22)×(12+22+32)×…×(12+22+…+1002)

100!

=

1×2×3

6

×

2×3×5

6

×

3×4×7

6

×…×

n×(n+1)×(2n+1)

6

×

1

100!

=

(1×2×…100)×(2×3×…×101)×(3×5×…×201)

6100?100!

=

(2×3×…×101)×(3×5×…×201)

6100

=

(2×4×6×…×100)×(3×5×…×101)×(3×5×…×201)

6100

分子中2×4×6×…×100含有97個因數(shù)2，22個因數(shù)3，
分子中3×5×7×…×101含有26個因數(shù)3，
分子中3×5×7×…×201含有50個因數(shù)3，
所以分子中一共含有97個因數(shù)2，98個因數(shù)3，分母中一共含有100個因數(shù)2，100個因數(shù)3，
因此分子、分母約分后分母還有3個因數(shù)2，2個因數(shù)3，
由2×2×2×3×3=72，
可得分?jǐn)?shù)

12×(12+22)×(12+22+32)×…×(12+22+…+1002)

100!

化成最簡分?jǐn)?shù)后的分母是72．

點(diǎn)評：此題主要考查了繁分?jǐn)?shù)的化簡的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是求出分母、分子中因數(shù)2、3的個數(shù)．