Question

在1、2、3、4、…、2002、2003這2003個(gè)自然數(shù)中
（1）最多可以取出多少個(gè)數(shù)，使得其中任意兩個(gè)數(shù)的和都是l60的倍數(shù)？
（2）寫出你所取的所有數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：最大與最小

專題：傳統(tǒng)應(yīng)用題專題

分析：一個(gè)數(shù)除以160所得的余數(shù)可以是0～159之間．所選取的數(shù)中，任意其中的兩個(gè)數(shù)的和有下列可能的情況：①這兩個(gè)數(shù)都是160的倍數(shù)；②這兩個(gè)數(shù)中有一個(gè)是160的倍數(shù)；③這兩個(gè)數(shù)都不是160的倍數(shù)．然后進(jìn)行推理論證，解決問(wèn)題．

解答： 解：一個(gè)數(shù)除以160所得的余數(shù)可以是0～159之間．
所選取的數(shù)中，任意其中的兩個(gè)數(shù)的和有下列可能的情況：
①這兩個(gè)數(shù)都是160的倍數(shù)，此時(shí)，兩個(gè)數(shù)分別除以160所得的余數(shù)為0，兩個(gè)余數(shù)的和還是0，所以這兩個(gè)數(shù)的和也是160的倍數(shù)．
②這兩個(gè)數(shù)中有一個(gè)是160的倍數(shù)，即除以160所得余數(shù)是0；另一個(gè)數(shù)不是160的倍數(shù)，即另一個(gè)數(shù)除以160所得的余數(shù)為1～159之間，假設(shè)余數(shù)是s 那么這兩個(gè)數(shù)的和除以160的余數(shù)一定為s，即這兩個(gè)數(shù)的和不是160的倍數(shù)．
這種情況，只要我們選取的數(shù)中一部分是160的倍數(shù)，一部分不是160的倍數(shù)，則從這些數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，一個(gè)是160的倍數(shù)，一個(gè)不是160的倍數(shù)，那么它們的和一定不是160的倍數(shù)．所以第②種情況不可能．
③這兩個(gè)數(shù)都不是160的倍數(shù)．
假設(shè)一個(gè)數(shù)除以160所得余數(shù)為s，另一個(gè)數(shù)除以160所得余數(shù)為t，則這兩個(gè)數(shù)的和除以160的余數(shù)為（s+t）或者（s+t-160）【檢驗(yàn)很簡(jiǎn)單，第一個(gè)數(shù)可表示為160k+s （k為任意整數(shù)，s表示余數(shù)），另一個(gè)數(shù)可表示為160n+t  （n為任意整數(shù)，t表示余數(shù)），則這兩個(gè)數(shù)的和為160（k+n）+s+t，這個(gè)數(shù)除以160所得余數(shù)即為s+t，如果s+t大于160，則余數(shù)為s+t-160，則和還是不能被160整除，即和不是160的倍數(shù)】
如果這兩個(gè)數(shù)的和除以160所得余數(shù)s+t剛好等于160，那么這兩個(gè)數(shù)的和也是16的倍數(shù)．
比如80和240都不是160的倍數(shù)，但80和240除以160所得的余數(shù)都是80（余數(shù)相等），兩個(gè)余數(shù)的和80+80=160，剛好是160的倍數(shù)，那么80與240的和就是160的倍數(shù)．
80+240=320 
20÷160=2
那么80與240的和就是160的倍數(shù)．此時(shí)，兩個(gè)余數(shù)s與t相，s=t
比如81與239都不是160的倍數(shù)，但81和239除以160所得的余數(shù)都分別是81與79（余數(shù)不相等），兩個(gè)余數(shù)的和81+79=160，剛好是16的倍數(shù)，那么80與240的和就是160的倍數(shù)．
81+239=320 
320÷160=2
那么81與239的和就是160的倍數(shù)．此時(shí)，得到的兩個(gè)余數(shù)s≠t
但如果是任意取兩個(gè)數(shù)，使得兩數(shù)之和是160的倍數(shù)：
假設(shè)先取的兩個(gè)數(shù)除以160所得的余數(shù)是分別是s與t，且s與t的和s+t=160，保證了這兩個(gè)數(shù)的和是160的倍數(shù)，那么能不能取第三個(gè)數(shù)呢？假設(shè)所取的第三個(gè)數(shù)除以160所得余是p，要保證第三個(gè)數(shù)和前面其中兩個(gè)數(shù)中任意一個(gè)的和都要是160的倍數(shù)，即要保證p+s=160且p+t=160，得到方程組：
s+t=160
p+s=160   
p+t=160
解得：s=t=p=80，
實(shí)際上，要保證我們選出的所有數(shù)（還是第③中情況，所選的數(shù)不是160的倍數(shù)）中，任意兩個(gè)數(shù)的和都要是16的倍數(shù)，則必須這些數(shù)除以160所得的余數(shù)都是80，因?yàn)槊總�(gè)數(shù)除以160的余數(shù)都是80，則其中任何兩個(gè)余數(shù)相加都是160，就是說(shuō)可以保證任取的兩個(gè)數(shù)的和都是160的倍數(shù)．現(xiàn)在回到題目：從1，2.3，4…2002，2003，2004，這2004個(gè)自然數(shù)中，取出的數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的和都是160的倍數(shù)中，
 如果是第一種情況，取出的所有數(shù)都是160的倍數(shù)．
則這些數(shù)是：160，320，480，640，800，960，1120，1280，1440，1600，1760，1920 共12個(gè)．（2004÷160=12多一點(diǎn)）
如果是第二種情況，則沒(méi)有符合題意的數(shù)．
如果是第三種情況，取出的所有數(shù)除以160所得的余數(shù)都是80，也能保證任意兩個(gè)數(shù)的和一定是160的倍數(shù)．
則這些數(shù)是：80，240，400，560，720，880，1040，1200，1360，1520，1680，1840，2000，共13個(gè)．
（這組數(shù)可在第一種情況的所有數(shù)的基礎(chǔ)上加上80即可得，第一個(gè)數(shù)80是160的0倍加上80得到，以160的余數(shù)也是80）
第三種情況比第一種情況多1個(gè)．
綜上：從1，2.3，4…2002，2003，2004這2004個(gè)自然數(shù)中，最多可取出13個(gè)數(shù)，使其中任意兩個(gè)數(shù)的和都是160的倍數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：此題解答起來(lái)比較困難，關(guān)鍵在于分類解答，運(yùn)用了推理論證的方法，解決問(wèn)題．