Question

有若干名小朋友，第一名小朋友的糖果比第二名小朋友的糖果多2塊，第二名小朋友的糖果比第三名小朋友的糖果多2塊，…，即前一名小朋友總比后一名小朋友多2塊糖果．他們按次序圍成圓圈做游戲，從第一名小朋友開始給第二名小朋友2塊糖果，第二名小朋友給第三名小朋友4塊糖果，…，即每一名小朋友總是將前面?zhèn)鱽淼奶枪�再加上自己�?塊傳給下一名小朋友，當(dāng)游戲進(jìn)行到某一名小朋友收到上一名小朋友傳來的糖果但無法按規(guī)定給出糖果時(shí)，有兩名相鄰小朋友的糖果數(shù)的比是13：1，問最多有多少名小朋友？

Answer 1

考點(diǎn)：哈密爾頓圈與哈密爾頓鏈

專題：傳統(tǒng)應(yīng)用題專題

分析：設(shè)有n名小朋友，共傳k圈（最后一名傳k-1圈），中斷時(shí)各人手中糖數(shù)為a．先研究a的取值，0中斷（最后一名手中無糖可傳）時(shí)，a_n=2nk-2a_n-1=0，a₁=2n-4；1中斷（最后一名手中只有一塊糖）時(shí)，a_n=2nk-1，a_n-1=1，a₁=2n-3．分這六種情況進(jìn)行討論，根據(jù)n、k的取值為整數(shù)，找出可能的人數(shù)即可求解．

解答： 解：設(shè)有n名小朋友，共傳k圈（最后一名傳k-1圈），中斷時(shí)各人手中糖數(shù)為a．先研究a的取值，0中斷（最后一名手中無糖可傳）時(shí)，a_n=2nk-2a_n-1=0，a₁=2n-4；1中斷（最后一名手中只有一塊糖）時(shí)，a_n=2nk-1，a_n-1=1，a₁=2n-3．分六種情況討論：
（1）0中斷，a_n：a_n-1=13：1，即

2nk-2

0

=

13

1

，顯然無解；

（2）0中斷，a_n：a₁=13：1，即

2nk-2

2n-4

=

13

1

?26n-52=2nk-2?n（13-k）=25，
可得n=25，k=12（n=5，k=8舍去）；

（3）0中斷，a₁：a_n=13：1，即

2n-4

2nk-2

=

13

1

?26nk-26=2n-4?n（13k-1）=11，無整數(shù)解；

（4）1中斷，a_n：a_n=13：1，即

2nk-1

1

=

13

1

?2nk-1=13?nk=7，
可得n=7，k=1（n=1，k=7舍去）；

（5）1中斷，a_n：a_n=13：1，即

2nk-1

2nk-3

=

13

1

?26n-39=2nk-1?n（13-k）=19，
可得n=19，k=12；

（6）1中斷，a₁：a_n=13：1，即

2n-3

2nk-1

=

13

1

?26nk-13=2n-3?n（13k-1）=5，無整數(shù)解．
由以上分析可得，最多有25位小朋友．
答：最多有25名小朋友．

點(diǎn)評(píng)：本題較復(fù)雜，根據(jù)中斷時(shí)最后一名手中糖的數(shù)量分情況進(jìn)行討論求解．