Question

一個(gè)非零自然數(shù)，如果它的二進(jìn)制表示中數(shù)碼l的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則稱之為“壞數(shù)”．例如：18=（10010）₂是“壞數(shù)”．試求小于1024的所有壞數(shù)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：排列組合,二進(jìn)制的運(yùn)算

專題：進(jìn)制問(wèn)題

分析：我們現(xiàn)把1024轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制：（1024）₁₀=2¹⁰=（10000000000）₂．于是，在二進(jìn)制中為11位數(shù)，但是我們只用看10位數(shù)中情況，并且，我們把不足10位數(shù)的在前面補(bǔ)上0，進(jìn)一步利用排列組合公式計(jì)算即可．

解答： 解：（1024）₁₀=2¹⁰=（10000000000）₂．
于是，在二進(jìn)制中為11位數(shù)，在10位數(shù)中．把不足10位數(shù)的在前面補(bǔ)上0，現(xiàn)在相當(dāng)于由10個(gè)位置，小于1024的所有壞數(shù)的個(gè)數(shù)可以含2個(gè)l，4個(gè)1，6個(gè)1，8個(gè)l，10個(gè)1．
于是總個(gè)數(shù)為：

C

2 10

+

C

4 10

+

C

6 10

+

C

8 10

+

C

10 10

=

10×9

2

+

10×9×8×7

4×3×2×1

+

10×9×8×7×6×5

6×5×4×3×2×1

+

10×9×8×7×6×5×4×3

8×7×6×5×4×3×2×1

+1
=45+210+210+45+1=511
所以小于1024的“壞數(shù)”有511個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查二進(jìn)制的運(yùn)用和排列組合的運(yùn)用，注意理解題意，轉(zhuǎn)化問(wèn)題，解決問(wèn)題．