462. 如圖9-51，已知ABCD、ABEF、CDFE都是長方形，且平面ABCD⊥平面ABEF．記∠FCE=q ，∠CFB=a ，∠CEB=b ，則有(　)．

　A．sinb =sina ·sinq　　　　B．cosa =cosb ·cosq

　C．sina =sinb ·cosq　　　　D．sinb =sina ·cosq

解析：C．

于是sina =sinb ·cosq ．

461. 如圖，設(shè)ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，E、F分別為AB、A₁B₁的中點(diǎn)，且AB＝2AA₁＝2a,AC＝BC＝a.

(1)求證：AF⊥A₁C

(2)求二面角C-AF-B的大小

分析　 本小題考查空間幾何垂直的概念和二面角的度量等知識(shí).

解　 (1)∵AC＝BC，E為AB中點(diǎn)，∴CE⊥AB

又∵ABC-A₁B₁C₁為直棱柱，∴CE⊥面AA₁BB

連結(jié)EF，由于AB＝2AA₁

∴AA₁FE為正方形

∴AF⊥A₁E，從而AF⊥A₁C

(2)設(shè)AF與A₁E交于O，連結(jié)CO，由于AF⊥A₁E，知AF⊥面CEA₁

∴∠COE即為二面角C-AF-B的平面角

∵AB＝2AA₁＝2a,AC＝BC＝a

∴CE＝a,OE＝a,∴tan∠COE＝＝2.

∴二面角C-AF-B的大小是arctan2.

460.　 如圖，在正方體ABDC-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CD的中點(diǎn).

(1)證明AD⊥D₁F

(2)求AE與D₁F所成的角

(3)證明面AED⊥面A₁FD₁

(4)設(shè)AA₁＝2，求三棱錐F-A₁ED₁的體積V??F-A₁ED₁?

解析：(1)∵AC₁是正方體，∴AD⊥面DC₁.又D₁FDC₁，∴AD⊥D₁F.

(2)取AB中點(diǎn)G，連結(jié)A₁G、FG(如圖).因?yàn)镕是CD的中點(diǎn)，所以GF、AD平行且相等，又A₁D₁、AD平行且相等，所以GF、A₁D₁平行且相等，故GFD₁A₁是平行四邊形，A₁G∥D₁F.

設(shè)A₁G與AE相交于點(diǎn)H，則∠AHA₁是AE與D₁F所成的角.因?yàn)镋是BB₁的中點(diǎn)，RtΔA₁AG≌RtΔABE，∠GA₁A＝∠GAH，從而∠AHA₁＝90°，即直線AE與D₁F所成角為直角.

(3)由(1)知AD⊥D₁F，由(2)知AE⊥D₁F，又AD∩AE＝A，所以D₁F⊥面AED.又因?yàn)镈₁F面A₁ED₁，∴體積＝＝，∵AA₁＝2，∴面積＝-2-＝.

∴＝×A₁D₁×＝×2×＝1.

459.　 如圖，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，點(diǎn)E在棱D₁D上，截面EAC∥D₁B，且面EAC與底面ABCD所成的角為45°，AB＝a.

(1)求截面EAC的面積

(2)求異面直線A₁B₁與AC之間的距離

(3)求三棱錐B₁-EAC的體積

解析：(1)連結(jié)DB交AC于O，連結(jié)EO.

∵底面ABCD是正方形

∴DO⊥AC

又∵ED⊥底面AC　 ∴EO⊥AC

∴∠EOD是面EAC與底面AC所成二面角的平面角

∴∠EOD＝45°

DO＝a,AC＝a,EO＝a·sec45°＝a.

故　 S_ΔEAC＝a².

(2)解：由題設(shè)ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，得A₁A⊥底面AC，A₁A⊥AC.

又A₁A⊥A₁B₁

∴A₁A是異面直線A₁B₁與AC間的公垂線

∵D₁B∥面EAC，且面D₁BD與面EAC交線為EO

∴D₁B∥EO

又O是DB的中點(diǎn)

∴E是D₁D的中點(diǎn)，D₁B＝2EO＝2a.

∴D₁D＝＝a.

異面直線A₁B₁與AC間的距離為a.

連結(jié)B₁O，則＝2

∵AO⊥面BDD₁B₁

∴AO是三棱錐A-EOB₁的高，AO＝a.

在正方形BDD₁B₁中，E、O分別是D₁D、DB的中點(diǎn)

則：＝a².

∴＝2··a²·a＝a³

所以三棱錐B₁-EAC的體積是a³.

458.　 如圖，已知A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，D是AC中點(diǎn).

(1)證明AB₁∥面DBC₁

(2)假設(shè)AB₁⊥BC₁，BC＝2，求線段AB₁在側(cè)面BB₁CC₁上的射影長.

分析：弄清楚正三棱柱的概念，利用三垂線定理找二面角.

解析：(1)證明：∵A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，

∴四形B₁BCC₁是矩形，連結(jié)B₁C，交BC₁于E，

則B₁E＝EC，連結(jié)DE.

在ΔAB₁C中，AD＝DC，∴DE∥AB₁

又AB₁平面DBC₁，DE平面DBC₁

∴AB₁∥平面DBC₁

(2)解：作DF⊥BC，垂足為F，因?yàn)槊鍭BC⊥面B₁BC₁，所以DF⊥B₁BCC₁，連結(jié)B₁E，則B₁E是A₁B在平面B₁BCC₁內(nèi)的射影

∵BC₁⊥AB₁　 ∴BC₁⊥B₁E

∵B₁BCC₁是矩形

∴∠B₁BF＝BC₁C＝90°

∴ΔB₁BF∽ΔBCC₁

∴＝＝

又F為正三角形ABC的BC邊中點(diǎn)

因而B₁B²＝BF·BC＝2

于是B₁F²＝B₁B²+BF²＝3，∴B₁F＝

即線段AB₁在平面B₁BCC₁內(nèi)的射影長為

457.求證：底面是梯形的直棱柱的體積，等于兩個(gè)平行側(cè)面面積的和與這兩個(gè)側(cè)面間距離的積的一半.

已知：直四棱柱A₁C，如圖，它的底面AC為梯形.DC∥AB，側(cè)面A₁B與側(cè)面D₁C的距離為h.

求證：＝(+)×h

證：設(shè)D₁E₁是梯形A₁B₁C₁D₁的高，

∵D₁E₁⊥A₁B₁，D₁E₁面A₁C₁

面A₁C₁⊥面A₁B，面A₁C₁∩面A₁B＝A₁B₁.

∴D₁E₁⊥面A₁B.

∴D₁E₁＝h.

＝S_底·AA₁

＝(D₁C₁+A₁B₁)·D₁E₁·AA₁

＝(D₁C₁·A₁A+A₁B₁·A₁A)·h

＝(+)·h

456.求證：(1)平行六面體的各對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在這一點(diǎn)互相平分.

(2)對(duì)角線相等的平行六面體是長方體.

已知：平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁

求證：(1)對(duì)角線AC₁、BD₁、CA₁、DB₁相交于一點(diǎn)，且在這點(diǎn)互相平分；

(2)若AC₁＝BD₁＝CA₁＝DB₁時(shí)，該平行六面體為長方體.

證明：(1)∵AA₁∥BB₁，BB₁∥CC₁，

∴AA₁∥CC₁.

∴對(duì)面角A₁ACC₁是平行四邊形.

∴CA₁與AC₁相交，且互相平分.

設(shè)CA₁∩AC₁＝0，則O為CA₁，AC₁的中點(diǎn).

同理，可證DB₁與AC₁及AC₁與D₁B也相交于一點(diǎn)，且互相平分.

交點(diǎn)也是O.

∴AC₁、BD₁、DB₁、CA₁交于一點(diǎn)，且互相平分.

(2)∵平行六面體AC₁的對(duì)角線面A₁C₁CA、B₁D₁DB都是平行四邊形.且它們的對(duì)角線A₁C、B₁D、C₁A、D₁B都相等.

∴對(duì)角面A₁C₁AC，B₁D₁DB都是矩形.

因此　 CC₁⊥A₁C₁

∴BB₁⊥B₁D₁

又∵BB₁∥CC₁

∴BB₁⊥A₁C₁

∴BB₁⊥平面A₁C₁

∴平行六面體A₁C是直平行六面體

同理可證：CB⊥平面A₁B，則BC⊥AB.

∴平面四邊形ABCD是矩形.

∴直平行六面體A₁C是長方體.

455.　 如圖，平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱AA₁長為2，且∠A₁AB＝∠A₁AD＝60°則此平行六面體的體積為　　　　　　

解析：一　 求平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D的體積，應(yīng)用公式.由于底面是正方形，所以關(guān)鍵是求高，即到底面ABCD的距離

解法一：過點(diǎn)A₁做A₁O⊥平面ABCD，垂足為O，過O做OE⊥AB，OF⊥AD，垂足分別為E、F，連結(jié)A₁E，A₁F，可知O在∠BAD的平分線AC上.

∴cos∠A₁AO·cos∠OAF＝·＝＝cos∠A₁AF

即cos∠A₁AO·cos45°＝cos60°

∴cos∠A₁AO＝

∴sin∠A₁AO＝

∴A₁O＝A₁Asin∠A₁AO＝

∴V＝S_ABCD·A₁O＝

分析二　 如圖，平行六面體的對(duì)角面B₁D₁DB把平行六面體分割成兩個(gè)斜三棱柱，它們等底面積、等高、體積相等，考察其中之一三棱柱A₁B₁D₁-ABD.

解法二：過B作BE⊥A₁A，連結(jié)DE，可知面BDE是其直截面，把斜三棱柱分割成上下兩部分，若把兩部分重新組合，讓面A₁D₁B₁與面ADB重合，則得到一直棱柱，ΔBDE是其底面，DD₁是其側(cè)棱，并且和斜三棱柱A₁B₁D₁-ABD的體積相等.

取BD中點(diǎn)O，連結(jié)OE，易知

S_ΔBED＝BD·OE＝BD·

＝··＝

∴V_直棱柱＝S_ΔDEB·DD₁

＝×2＝＝

∴＝2＝

點(diǎn)評(píng)　 在解決體積問題時(shí)，“割”“補(bǔ)”是常用的手段，另外本題分析二給出了求斜棱柱體積的另一方法：斜棱柱的體積＝直截面面積×側(cè)棱長.

454.　 如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，E、F分別在棱AB、BC上，G在對(duì)角線BD₁上，且AE＝，BF＝，D₁G∶GB＝1∶2，求平面EFG與底面ABCD所成的二面角的大小.

解析：設(shè)G在底面ABCD上的射影為H，H∈BD，

∵＝＝

∴GH＝

作HM⊥EF于M，連GM，由三垂線定理知GM⊥EF，則∠GMH＝θ就是平面BFG與底面ABCD所成的二面角的平面角，tanθ＝.

下面求HM的值.

建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，據(jù)題設(shè)可知.

H(，)、E(，0)、F(1，)

∴直線EF的方程為

＝，

即　 4x-6y-1＝0.

由點(diǎn)到直線的距離公式可得

｜HM｜＝＝，

∴tgθ＝·＝，θ＝arctg.

說明　 運(yùn)用解析法來求HM的值是本例的巧妙所在.

453. 在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是A₁B₁上的一動(dòng)點(diǎn)，平面PAD₁和平面PBC₁與對(duì)角面ABC₁D₁所成的二面角的平面角分別為α、β，試求α+β的最大值和最小值.

解析：如圖.對(duì)角面A₁B₁CD⊥對(duì)角面ABC₁D₁，其交線為EF.過P作PQ⊥EF于Q，則PQ⊥對(duì)角面ABC₁D₁.分別連PE、PF.

∵EF⊥AD₁，PE⊥AD₁(三垂線定理).故由二面角的平面角定義知　 ∠PFQ＝α，

同理，∠PFQ＝β.

設(shè)A₁P＝x,(0≤x≤1)，則PB₁＝1-x.

∵EQ＝A₁P，QF＝PB₁，PQ＝，

∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，有

tanα＝,tanβ＝,

∴tan(α+β)＝＝

＝

而當(dāng)x＝0時(shí)α＝，tan(α+β)＝tan(+β)＝-cotβ＝-＝-，上式仍成立；類似地可以驗(yàn)證.當(dāng)x＝1時(shí)，上式也成立，于是，當(dāng)x＝時(shí)，tan(α+β)取最小值-2；當(dāng)x＝0或1時(shí)，tan(α+β)取最大值-.

又∵　 0＜α+β＜π，

∴(α+β)max＝π-arctan

(α+β)min＝π-arctan2