2.重點公式

(1)如果事件A、B互斥，那么事件A+B發(fā)生(即A、B中有一個發(fā)生)的概率，等于事件A、B分別發(fā)生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推廣:P(A₁+A₂+…+A_n)=P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n).

(2)對立事件的概率和等于1.

P(P)+P()=P(A+)=1.

[題例分析]

例1、甲、乙二人參加普法知識競賽，共有10個不同的題目，其中選擇題6個，判斷題4個.甲、乙二人各抽一題：

(1)求甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率；

(2)求甲、乙兩人中至少一人抽到選擇題的概率.

解：(1)甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的可能結(jié)果有C·C個，又甲、乙依次抽到一題的可能結(jié)果有CC個，所以，所求概率為：=.

(2)甲、乙二人依次都抽到判斷題的概率為，故甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率為:1-=1-=1-=.

例2、某射手在一次射擊中命中9環(huán)的概率是0.28，命中8環(huán)的概率是0.19，不夠8環(huán)的概率是0.29.計算這個射手在一次射擊中命中9環(huán)或10環(huán)的概率.

解：設這個射手在一次射擊中命中10環(huán)或9環(huán)為事件A，命中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)以及不夠8環(huán)的事件分別記為A₁、A₂、A₃、A₄.

∵A₂、A₃、A₄彼此互斥，

∴P(A₂+A₃+A₄)=P(A₂)+P(A₃)+P(A₄)=0.28+0.19+0.29=0.76.

又∵A₁=，∴P(A₁)=1-P(A₂+A₃+A₄)=1-0.76=0.24.

∵A₁與A₂互斥，

∴P(A)＝P(A₁+A₂)=P(A₁)+P(A₂)=0.24+0.28＝0.52.

故這個射手在一次射擊中命中10環(huán)或9環(huán)的概率為0.52.

例3、袋中放有3個伍分硬幣，3個貳分硬幣和4個壹分硬幣，從中任取3個，求總值超過8分的概率.

解：記“總值超過8分”為事件A，它應有四種情況：

(1)“取到3個伍分硬幣”為事件A₁；

(2)“取到2個伍分和一個貳分硬幣”為事件A₂；

(3)“取到2個伍分和一個壹分硬幣”為事件A₃；

(4)“取到一個伍分硬幣和2個貳分硬幣”為事件A₄.

則P(A₁)==.　　　　P(A₂)==.

P(A₃)==.　　　　 P(A₄)==.

依題意，A₁、A₂、A₃、A₄彼此互斥，

∴P(A)=P(A₁+A₂+A₃+A₄)=P(A₁)+P(A₂)+P(A₃)+P(A₄)=

例4、經(jīng)統(tǒng)計，某大型商場一個結(jié)算窗口每天排隊結(jié)算的人數(shù)及相應的概率如下：

　　　 (I)每天不超過20人排隊結(jié)算的概率是多少？

(Ⅱ)一周7天中，若有3天以上(含3天)出現(xiàn)超過15人排隊結(jié)算的概率大于0.75，商場就需要增加結(jié)算窗口，請問該商場是否需要增加結(jié)算窗口？

解：(I)每天不超過20人排隊結(jié)算的概率為：P=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75，即不超過20人排隊結(jié)算的概率是0.75.　 　　　　　　　　　　

(Ⅱ)每天超過15人排隊結(jié)算的概率為：0.25+0.2+0.05=，　　　　　　　　　　

一周7天中，沒有出現(xiàn)超過15人排隊結(jié)算的概率為；

一周7天中，有一天出現(xiàn)超過15人排隊結(jié)算的概率為；

一周7天中，有二天出現(xiàn)超過15人排隊結(jié)算的概率為；

所以有3天或3天以上出現(xiàn)超過15人排隊結(jié)算的概率為：

，

所以，該商場需要增加結(jié)算窗口.

[鞏固訓練]

[基礎知識]

1、 (1)互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件叫互斥事件.

(2)對立事件：兩個事件必有一個發(fā)生的互斥事件叫對立事件.

6、有一個表面都涂有紅顏色的正方體，被均勻地鋸成了1000個小正方體,將這些正方體混合后，放入一個口袋內(nèi).

(1)從該袋中任抽取一個正方體，恰有兩個面涂有紅色的概率是多少?

(2)從袋中任取兩個正方體，其中至少有一個面上有紅色的概率是多少?

5、8支球隊中有3支弱隊，以抽簽的方式將這8支球隊分為A、B兩組，每組4支，求： (1)A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊的概率；

(2)A組中至少有兩支弱隊的概率．

4、一次二期課改經(jīng)驗交流會打算交流試點學校的論文5篇和非試點學校的論文3篇。若任意排列交流次序，則最先和最后交流的論文都為試點學校的概率是__________

3、袋內(nèi)裝有10個相同的球，其中5個球標有數(shù)字0，5個球標有數(shù)字1，若從袋中摸出5個球，那么摸出的5個球所標數(shù)字之和小于2或大于3的概率是　　　　　　　 .

2、將一顆質(zhì)地均勻的骰子(它是一種各面上分別標有點數(shù)1，2，3，4，5，6的正方體玩具)先后拋擲3次，至少出現(xiàn)一次6點向上和概率是　　　　　　　　

(A)　　　(B)　　　(C)　　　　　(D)

1、數(shù)字1，2，3，4，5，中，隨機抽取3個數(shù)字(允許重復)組成一個三位數(shù)，其各位數(shù)字之和等于9的概率為(　　　 )

[基礎知識]

等可能性事件的概率.

[題例分析]

例1、　　　　 某班有學生36人，血型分別為A型12人,B型10人,AB型8人,O型6人，現(xiàn)從中抽出2人，求這兩人血型不相同的概率.

解:P(兩人血型相同)＝P(兩人血型均為A型)+P(兩人血型均為B型)+P(兩人血型均為AB型)+P(兩人血型均為O型)＝.

所以，P(兩人血型不同)＝1－.

點撥:從四種血型中抽出2種有C²₄＝6種，依次分類則情形較復雜，所以本題用間接法較簡便.

例2、從男、女學生共有36名的班級中,任意選出兩名委員,任何人都有同樣的機會當選,如果選得同性委員的概率等于，求男、女相差幾名？

解：設男生有x名，則女生有36－x名，選得2名委員都是男性的概率為＝.選得兩名委員都是女性的概率為＝.

以上兩種選法是互斥的，所以選得兩名委員是同性委員的概率等于其概率和.

依題意+＝.解得x＝15或x＝21.

即該班男生有15名，女生有36－15＝21人或者男生有21人，女生有36－21＝15人，總之，男女相差6名.

例3、在袋中裝30個小球，其中彩球有n個紅色，5個藍色,10個黃色，其余為白色，求：

(1)如果已經(jīng)從中取定了5個黃球和3個藍球，并將它們編上了不同的號碼后排成一排，那么使藍色小球不相鄰的排法有多少種？

(2)如果從袋中取出3個都是顏色相同的彩球(不含白色)的概率是，且n≥2，計算紅球有幾個？

(3)根據(jù)(2)的結(jié)論，計算從袋中任取3個小球至少有一個紅球的概率？

解：(1)將5個黃球排成一排共有A⁵₅種排法，將3個藍球放在5個黃球所形成的6個空位上，有A³₆種排法.∴所求的排法為A⁵₅·A³₆＝14400(種).

(2)取3個球的種數(shù)為C³₃₀＝4060，設“3個球全是紅色”為事件A，“3個球全是藍色”為事件B.“3個球都是黃色”為事件C，則P(B)＝，P(C)＝.

∵A、B、C彼此互斥，∴P(A+B+C)＝P(A)+P(B)+P(C)，

即＝P(A)+.∴P(A)＝0，即取3個球，是紅球的個數(shù)小于或等于2.

又∵n≥2，故n＝2.

(3)記“3個球至少有一個是紅球”為事件D，則為“3個球中沒有紅球”，則

P(D)＝1－P()＝1－＝.

例4、一種電器控制器在出廠時每四件一等品裝成一箱，工人在裝箱時不小心把兩件二等品和兩件一等品裝入一箱，為了找出該箱中的二等品，我們把該箱中產(chǎn)品逐一取出進行測試.

　 (1)求前兩次取出都是二等品的概率；

　 (2)求第二次取出的是二等品的概率；

　 解：(1)四件產(chǎn)品逐一取出方式共有A種不同方式.

　　　 前兩次取出都是二等品的方式共有A·A種不同方式.

　　　 所以前兩次取出都是二等品的概率為：　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)第二次取出是二等品共有：，

　　　 所以第二次取出是二等品的概率是：　　　　　　　　　　

[鞏固訓練]

6、若=，求(1)―的值。(2)的值。