函數極限的定義:

當自變量取正值并且無限增大時，如果函數無限趨近于一個常數，就說當趨向于正無窮大時，函數的極限是，記作：，或者當時， ；當自變量取負值并且絕對值無限增大時，如果函數無限趨近于一個常數，就說當趨向于負無窮大時，函數的極限是.

記作或者當當時，

如果且，那么就說當趨向于無窮大時，函數的極限是，記作：或者當時， .

常數函數: ()，有.

存在，表示和都存在，且兩者相等所以中的既有，又有的意義，而數列極限中的僅有的意義.

趨向于定值的函數極限概念：當自變量無限趨近于()時，如果函數無限趨近于一個常數，就說當趨向時，函數的極限是，記作.特別地，；.

.

其中表示當從左側趨近于時的左極限，

表示當從右側趨近于時的右極限.

對于函數極限有如下的運算法則：

如果，,那么,

,　 .

當是常數，是正整數時:,

這些法則對于的情況仍然適用.

函數在一點連續(xù)的定義: 如果函數在點處有定義，存在，

且，那么函數在點處連續(xù).

函數在內連續(xù)的定義：如果函數在某一開區(qū)間內每一點處連續(xù)，就說函數在開區(qū)間內連續(xù)，或是開區(qū)間內的連續(xù)函數.

函數在上連續(xù)的定義：如果在開區(qū)間內連續(xù)，在左端點處有，在右端點處有就說函數在閉區(qū)間上連續(xù),或是閉區(qū)間上的連續(xù)函數.

最大值：是閉區(qū)間上的連續(xù)函數，如果對于任意，≥，那么在點處有最大值.

最小值：是閉區(qū)間上的連續(xù)函數，如果對于任意，≤，那么在點處有最小值.

最大值最小值定理

如果是閉區(qū)間上的連續(xù)函數，那么在閉區(qū)間上有最大值和最小值.

極限問題的基本類型：分式型，主要看分子和分母的首項系數；

指數型(和型)，通過變形使得各式有極限；

根式型(型)，通過有理化變形使得各式有極限；

根的存在定理：若①函數在上連續(xù)，②，則方程至少有一根在區(qū)間內；若①函數在上連續(xù)且單調，②，則方程有且只有一根在區(qū)間內.

(重慶)　　　　　　　　

(上海)計算：　　　　　　　

(上海)計算：＝　　　　　　　 　

(湖南)已知數列()為等差數列，且，，

則　 　　　　

(湖北)已知不等式，其中為大于的整數，

表示不超過的最大整數. 設數列的各項為正，且滿足，≤，，…證明，，…

猜測數列是否有極限？如果有，寫出極限的值(不必證明)；

)試確定一個正整數，使得當時，對任意，都有.

將化成分數是　　　　

若，則的取值范圍是 　　

　　　　　　　 ；　　　　　　　

已知，則　　　 ；　　　 ；　　　　　

　(湖北宜昌市月模擬)已知數列滿足()，

且，則　　　 　　　　　　　　　

　(屆高三湖北八校聯考)已知數列的前項和滿足，則其各項和等于　　　　 　　 　　　　　

若數列的通項公式是，，…，

則 　　　　 　　　　

數列中，，，，則

、

問題1．求下列數列的極限：；　 ；　

問題2．(陜西)等于

(天津)設等差數列的公差是，前項的和為，則　　

(湖北)已知和是兩個不相等的正整數，且≥，則

問題3．若，求和的值；

若，求的取值范圍.

問題4．已知數列滿足，，，… ，

若，則　　　　 　　　　　　　　　　

已知，數列滿足，(，…)，且數列的極限存在，則　　　　　　　　　 　(結果用表示).

問題5．(福建)如圖，連結的各邊中點

得到一個新的又連結的各邊中點得

到，如此無限繼續(xù)下去，得到一系列三角形：

，，，…，這一系列

三角形趨向于一個點.已知

則點的坐標是　　　　　

數列極限的定義：

一般地，如果當項數無限增大時，無窮數列的項無限趨近于某個常數

(即無限地接近于)，那么就說數列以為極限.記作.

注：不一定是中的項

幾個重要極限：(，為常數)； (是常數)；

　；　　　　　　

極限問題的基本類型：分式型，主要看分子和分母的首項系數；

指數型(和型)，通過變形(如通分，約分)使得各式有極限；

根式型(型)，通過有理化變形使得各式有極限；

數列極限的運算法則:與函數極限的運算法則類似, 如果，，那么

　 .

特別地，如果是常數，那么，

無窮等比數列的各項和：公比的絕對值小于的無窮等比數列前項的和當無限增大時的極限，叫做這個無窮等比數列各項的和，記做；

(上海)設是定義在正整數集上的函數，且滿足：“當成立時，總可推出成立”．那么，下列命題總成立的是

　 若成立，則當時，均有成立

　 若成立，則當時，均有成立

　 若成立，則當時，均有成立

　 若成立，則當時，均有成立

　(湖南)已知函數,數列{}滿足:

，，求證: ;.

(江西)已知數列滿足：，且(≥，)

求數列的通項公式；求證：對于一切正整數，不等式

(湖北)已知為正整數，

用數學歸納法證明：當時，≥；

對于≥，已知，求證，；

求出滿足等式的所有正整數.

觀察下列式子：，則可以猜想的結論為：　　　　　　　　　 　

用數學歸納法證明“”，從“到”左端需增乘的代數式為

(重慶市重點中學二聯)如圖，第個圖形是由正邊形“擴展”而來(，，，…)，則第個圖形中共有　　　　　　 個頂點.

凸邊形有條對角線，則凸邊形有對角線條數為

平面內有條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點，求證：這條直線把平面分成個區(qū)域.

問題1．求證：能被整除.

問題2．求證：

設，且，用數學歸納法證明：

用數學歸納法證明：(其中≥，且).

問題3．已知，，其中、，，，，且.求的反函數；對任意，試指出與的大小關系，并證明你的結論.

問題4．(浙江)設點，和拋物線：()，其中＝，由以下方法得到：，點在拋物線：上，點到的距離是到上點的最短距離，…，點在拋物線：上，點到的距離是 到 上點的最短距離． 求及的方程；證明是等差數列．

歸納法：由一些特殊事例推出一般結論的推理方法特點：特殊→一般.

不完全歸納法: 根據事物的部分(而不是全部)特例得出一般結論的推理方法叫做不完全歸納法

完全歸納法: 把研究對象一一都考查到了而推出結論的歸納法稱為完全歸納法

完全歸納法是一種在研究了事物的所有(有限種)特殊情況后得出一般結論的推理方法，又叫做枚舉法.與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結論是可靠的通常在事物包括的特殊情況數不多時，采用完全歸納法

數學歸納法:對于某些與自然數有關的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當取第一個值時命題成立；然后假設當(，≥)時命題成立，證明當命題也成立這種證明方法就叫做數學歸納法.

數學歸納法的基本思想：即先驗證使結論有意義的最小的正整數，如果當時，命題成立，再假設當(，≥)時，命題成立.(這時命題是否成立不是確定的)，根據這個假設，如能推出當時，命題也成立，那么就可以遞推出對所有不小于的正整數，，…，命題都成立.

用數學歸納法證明一個與正整數有關的命題的步驟：

證明：當取第一個值結論正確；假設當(，≥)時結論正確，證明當時結論也正確由，可知，命題對于從開始的所有正整數都正確.數學歸納法被用來證明與自然數有關的命題：遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉.

用數學歸納法證題時，兩步缺一不可；證題時要注意兩湊：一湊歸納假設，二湊目標.

(四川)甲校有名學生，乙校有名學生，丙校有名學生，為統(tǒng)計三校學生某方面的情況，計劃采用分層抽樣法，抽取一個樣本容量為人的樣本，應在這三校分別抽取學生

人，人，人　人，人，人

人，人，人　人，人，人

(天津) 某工廠生產、、三種不同型號的產品，產品數量之比依次為，現用分層抽樣方法抽出一個容量為的樣本，樣本中種型號產品有件.那么此樣本的容量　　　　　　

(陜西文)某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類及果蔬類分別有種、種、種、種，現從中抽取一個容量為的樣本進行食品安全檢測。若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數之和是(　 )　 　　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　

(全國Ⅰ文)從某自動包裝機包裝的食鹽中，隨機抽取袋，測得各袋的質量分別為(單位：)：

根據頻率分布估計總體分布的原理，該自動包裝機包裝的袋裝食鹽質量在-之間的概率約為　　　　　　　

(湖北)某初級中學有學生人，其中一年級人，二、三年級各人，現要利用抽樣方法抽取人參加某項調查，考慮選用簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡單隨機抽樣和分層抽樣時，將學生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為，，…，；使用系統(tǒng)抽樣時，將學生統(tǒng)一隨機編號，，…，，并將整個編號依次分為段.如果抽得號碼有下列四種情況：

　　 ①，，，，，，，，，；

　　 ②，，，，，，，，，；

　　 ③，，，，，，，，，；

　　 ④，，，，，，，，，；

　　 關于上述樣本的下列結論中，正確的是

　　 ②、③都不能為系統(tǒng)抽樣　　　　　 ②、④都不能為分層抽樣

　　 ①、④都可能為系統(tǒng)抽樣　　　　　 ①、③都可能為分層抽樣

(湖南)設隨機變量服從標準正態(tài)分布，已知，

則　 　　 　　　 　　　 　

(福建)兩封信隨機投入三個空郵箱，則郵箱的信件數的數學期望　　　　

(浙江)已知隨機變量服從正態(tài)分布，，

則　　 　　　　 　　 　　　　

(全國Ⅱ)在某項測量中，測量結果服從正態(tài)分布．若在內取值的概率為，則在內取值的概率為　　　　

(屆高三浙江嘉興市二檢)已知隨機變量，若，則　

(遼寧文)某公司在過去幾年內使用某種型號的燈管支，該公司對這些燈管的使用壽命(單位：小時)進行了統(tǒng)計，統(tǒng)計結果如下表所示：

分組	[500，900)	[900，1100)	[1100，1300)	[1300，1500)	[1500，1700)	[1700，1900)	[1900，)
頻數
頻率

將各組的頻率填入表中；

根據上述統(tǒng)計結果，計算燈管使用壽命不足小時的頻率；

該公司某辦公室新安裝了這種型號的燈管支，若將上述頻率作為概率，試求至少有支燈管的使用壽命不足小時的概率．