函數(shù)極限的定義:

當自變量取正值并且無限增大時，如果函數(shù)無限趨近于一個常數(shù)，就說當趨向于正無窮大時，函數(shù)的極限是，記作：，或者當時， ；當自變量取負值并且絕對值無限增大時，如果函數(shù)無限趨近于一個常數(shù)，就說當趨向于負無窮大時，函數(shù)的極限是.

記作或者當當時，

如果且，那么就說當趨向于無窮大時，函數(shù)的極限是，記作：或者當時， .

常數(shù)函數(shù): ()，有.

存在，表示和都存在，且兩者相等所以中的既有，又有的意義，而數(shù)列極限中的僅有的意義.

趨向于定值的函數(shù)極限概念：當自變量無限趨近于()時，如果函數(shù)無限趨近于一個常數(shù)，就說當趨向時，函數(shù)的極限是，記作.特別地，；.

.

其中表示當從左側(cè)趨近于時的左極限，

表示當從右側(cè)趨近于時的右極限.

對于函數(shù)極限有如下的運算法則：

如果，,那么,

,　 .

當是常數(shù)，是正整數(shù)時:,

這些法則對于的情況仍然適用.

函數(shù)在一點連續(xù)的定義: 如果函數(shù)在點處有定義，存在，

且，那么函數(shù)在點處連續(xù).

函數(shù)在內(nèi)連續(xù)的定義：如果函數(shù)在某一開區(qū)間內(nèi)每一點處連續(xù)，就說函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，或是開區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù).

函數(shù)在上連續(xù)的定義：如果在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，在左端點處有，在右端點處有就說函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),或是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).

最大值：是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，如果對于任意，≥，那么在點處有最大值.

最小值：是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，如果對于任意，≤，那么在點處有最小值.

最大值最小值定理

如果是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，那么在閉區(qū)間上有最大值和最小值.

極限問題的基本類型：分式型，主要看分子和分母的首項系數(shù)；

指數(shù)型(和型)，通過變形使得各式有極限；

根式型(型)，通過有理化變形使得各式有極限；

根的存在定理：若①函數(shù)在上連續(xù)，②，則方程至少有一根在區(qū)間內(nèi)；若①函數(shù)在上連續(xù)且單調(diào)，②，則方程有且只有一根在區(qū)間內(nèi).

(重慶)　　　　　　　　

(上海)計算：　　　　　　　

(上海)計算：＝　　　　　　　 　

(湖南)已知數(shù)列()為等差數(shù)列，且，，

則　 　　　　

(湖北)已知不等式，其中為大于的整數(shù)，

表示不超過的最大整數(shù). 設數(shù)列的各項為正，且滿足，≤，，…證明，，…

猜測數(shù)列是否有極限？如果有，寫出極限的值(不必證明)；

)試確定一個正整數(shù)，使得當時，對任意，都有.

將化成分數(shù)是　　　　

若，則的取值范圍是 　　

　　　　　　　 ；　　　　　　　

已知，則　　　 ；　　　 ；　　　　　

　(湖北宜昌市月模擬)已知數(shù)列滿足()，

且，則　　　 　　　　　　　　　

　(屆高三湖北八校聯(lián)考)已知數(shù)列的前項和滿足，則其各項和等于　　　　 　　 　　　　　

若數(shù)列的通項公式是，，…，

則 　　　　 　　　　

數(shù)列中，，，，則

、

問題1．求下列數(shù)列的極限：；　 ；　

問題2．(陜西)等于

(天津)設等差數(shù)列的公差是，前項的和為，則　　

(湖北)已知和是兩個不相等的正整數(shù)，且≥，則

問題3．若，求和的值；

若，求的取值范圍.

問題4．已知數(shù)列滿足，，，… ，

若，則　　　　 　　　　　　　　　　

已知，數(shù)列滿足，(，…)，且數(shù)列的極限存在，則　　　　　　　　　 　(結(jié)果用表示).

問題5．(福建)如圖，連結(jié)的各邊中點

得到一個新的又連結(jié)的各邊中點得

到，如此無限繼續(xù)下去，得到一系列三角形：

，，，…，這一系列

三角形趨向于一個點.已知

則點的坐標是　　　　　

數(shù)列極限的定義：

一般地，如果當項數(shù)無限增大時，無窮數(shù)列的項無限趨近于某個常數(shù)

(即無限地接近于)，那么就說數(shù)列以為極限.記作.

注：不一定是中的項

幾個重要極限：(，為常數(shù))； (是常數(shù))；

　；　　　　　　

極限問題的基本類型：分式型，主要看分子和分母的首項系數(shù)；

指數(shù)型(和型)，通過變形(如通分，約分)使得各式有極限；

根式型(型)，通過有理化變形使得各式有極限；

數(shù)列極限的運算法則:與函數(shù)極限的運算法則類似, 如果，，那么

　 .

特別地，如果是常數(shù)，那么，

無窮等比數(shù)列的各項和：公比的絕對值小于的無窮等比數(shù)列前項的和當無限增大時的極限，叫做這個無窮等比數(shù)列各項的和，記做；

(上海)設是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且滿足：“當成立時，總可推出成立”．那么，下列命題總成立的是

　 若成立，則當時，均有成立

　 若成立，則當時，均有成立

　 若成立，則當時，均有成立

　 若成立，則當時，均有成立

　(湖南)已知函數(shù),數(shù)列{}滿足:

，，求證: ;.

(江西)已知數(shù)列滿足：，且(≥，)

求數(shù)列的通項公式；求證：對于一切正整數(shù)，不等式

(湖北)已知為正整數(shù)，

用數(shù)學歸納法證明：當時，≥；

對于≥，已知，求證，；

求出滿足等式的所有正整數(shù).

觀察下列式子：，則可以猜想的結(jié)論為：　　　　　　　　　 　

用數(shù)學歸納法證明“”，從“到”左端需增乘的代數(shù)式為

(重慶市重點中學二聯(lián))如圖，第個圖形是由正邊形“擴展”而來(，，，…)，則第個圖形中共有　　　　　　 個頂點.

凸邊形有條對角線，則凸邊形有對角線條數(shù)為

平面內(nèi)有條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點，求證：這條直線把平面分成個區(qū)域.

問題1．求證：能被整除.

問題2．求證：

設，且，用數(shù)學歸納法證明：

用數(shù)學歸納法證明：(其中≥，且).

問題3．已知，，其中、，，，，且.求的反函數(shù)；對任意，試指出與的大小關系，并證明你的結(jié)論.

問題4．(浙江)設點，和拋物線：()，其中＝，由以下方法得到：，點在拋物線：上，點到的距離是到上點的最短距離，…，點在拋物線：上，點到的距離是 到 上點的最短距離． 求及的方程；證明是等差數(shù)列．

歸納法：由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法特點：特殊→一般.

不完全歸納法: 根據(jù)事物的部分(而不是全部)特例得出一般結(jié)論的推理方法叫做不完全歸納法

完全歸納法: 把研究對象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法

完全歸納法是一種在研究了事物的所有(有限種)特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法.與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的通常在事物包括的特殊情況數(shù)不多時，采用完全歸納法

數(shù)學歸納法:對于某些與自然數(shù)有關的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當取第一個值時命題成立；然后假設當(，≥)時命題成立，證明當命題也成立這種證明方法就叫做數(shù)學歸納法.

數(shù)學歸納法的基本思想：即先驗證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)，如果當時，命題成立，再假設當(，≥)時，命題成立.(這時命題是否成立不是確定的)，根據(jù)這個假設，如能推出當時，命題也成立，那么就可以遞推出對所有不小于的正整數(shù)，，…，命題都成立.

用數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)有關的命題的步驟：

證明：當取第一個值結(jié)論正確；假設當(，≥)時結(jié)論正確，證明當時結(jié)論也正確由，可知，命題對于從開始的所有正整數(shù)都正確.數(shù)學歸納法被用來證明與自然數(shù)有關的命題：遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結(jié)論寫明莫忘掉.

用數(shù)學歸納法證題時，兩步缺一不可；證題時要注意兩湊：一湊歸納假設，二湊目標.

(四川)甲校有名學生，乙校有名學生，丙校有名學生，為統(tǒng)計三校學生某方面的情況，計劃采用分層抽樣法，抽取一個樣本容量為人的樣本，應在這三校分別抽取學生

人，人，人　人，人，人

人，人，人　人，人，人

(天津) 某工廠生產(chǎn)、、三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為，現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個容量為的樣本，樣本中種型號產(chǎn)品有件.那么此樣本的容量　　　　　　

(陜西文)某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類及果蔬類分別有種、種、種、種，現(xiàn)從中抽取一個容量為的樣本進行食品安全檢測。若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是(　 )　 　　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　

(全國Ⅰ文)從某自動包裝機包裝的食鹽中，隨機抽取袋，測得各袋的質(zhì)量分別為(單位：)：

根據(jù)頻率分布估計總體分布的原理，該自動包裝機包裝的袋裝食鹽質(zhì)量在-之間的概率約為　　　　　　　

(湖北)某初級中學有學生人，其中一年級人，二、三年級各人，現(xiàn)要利用抽樣方法抽取人參加某項調(diào)查，考慮選用簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡單隨機抽樣和分層抽樣時，將學生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為，，…，；使用系統(tǒng)抽樣時，將學生統(tǒng)一隨機編號，，…，，并將整個編號依次分為段.如果抽得號碼有下列四種情況：

　　 ①，，，，，，，，，；

　　 ②，，，，，，，，，；

　　 ③，，，，，，，，，；

　　 ④，，，，，，，，，；

　　 關于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是

　　 ②、③都不能為系統(tǒng)抽樣　　　　　 ②、④都不能為分層抽樣

　　 ①、④都可能為系統(tǒng)抽樣　　　　　 ①、③都可能為分層抽樣

(湖南)設隨機變量服從標準正態(tài)分布，已知，

則　 　　 　　　 　　　 　

(福建)兩封信隨機投入三個空郵箱，則郵箱的信件數(shù)的數(shù)學期望　　　　

(浙江)已知隨機變量服從正態(tài)分布，，

則　　 　　　　 　　 　　　　

(全國Ⅱ)在某項測量中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布．若在內(nèi)取值的概率為，則在內(nèi)取值的概率為　　　　

(屆高三浙江嘉興市二檢)已知隨機變量，若，則　

(遼寧文)某公司在過去幾年內(nèi)使用某種型號的燈管支，該公司對這些燈管的使用壽命(單位：小時)進行了統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：

分組	[500，900)	[900，1100)	[1100，1300)	[1300，1500)	[1500，1700)	[1700，1900)	[1900，)
頻數(shù)
頻率

將各組的頻率填入表中；

根據(jù)上述統(tǒng)計結(jié)果，計算燈管使用壽命不足小時的頻率；

該公司某辦公室新安裝了這種型號的燈管支，若將上述頻率作為概率，試求至少有支燈管的使用壽命不足小時的概率．