3. 在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，體對(duì)角線DB₁與面對(duì)角線BC₁所成的角是　　　 ，它們的距離是　　 .

2. 兩個(gè)正方形ABCD、ABEF所在的平面互相垂直，則異面直線AC和BF所成角的大小為　　 　．

[例1]在正方體ABCD-ABCD中,O是底面ABCD的中心，M、N分別是棱DD、DC的中點(diǎn)，則直線OM(　　 ).

A .是AC和MN的公垂線.　 B .垂直于AC但不垂直于MN.

C .垂直于MN，但不垂直于AC.　 D .與AC、MN都不垂直.

錯(cuò)解:B.

錯(cuò)因：學(xué)生觀察能力較差，找不出三垂線定理中的射影.

正解：A.　

[例2]如圖，已知在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn)，G,H分別是BC,CD上的點(diǎn),且,求證:直線EG,FH,AC相交于一點(diǎn).

錯(cuò)解：證明：、F分別是AB,AD的中點(diǎn),

∥BD,EF=BD,

又, GH∥BD,GH=BD,

　　 四邊形EFGH是梯形，設(shè)兩腰EG,FH相交于一點(diǎn)T,

,F分別是AD.AC與FH交于一點(diǎn).

直線EG,FH,AC相交于一點(diǎn)

正解：證明：、F分別是AB,AD的中點(diǎn),

　 ∥BD,EF=BD,

又,

　　 GH∥BD,GH=BD,

四邊形EFGH是梯形，設(shè)兩腰EG,FH相交于一點(diǎn)T,

平面ABC,FH平面ACD,

T面ABC,且T面ACD,又平面ABC平面ACD=AC,

,直線EG,FH,AC相交于一點(diǎn)T.

[例3]判斷：若a,b是兩條異面直線，P為空間任意一點(diǎn)，則過(guò)P點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與a,b都平行.

錯(cuò)解：認(rèn)為正確.

錯(cuò)因：空間想像力不夠.忽略P在其中一條線上，或a與P確定平面恰好與b平行，此時(shí)就不能過(guò)P作平面與a平行.

正解：假命題．

　[例4] 如圖，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點(diǎn)E，G，H，F(xiàn)．求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線(在同一條直線上)． 　分析：先確定一個(gè)平面，然后證明相關(guān)直線在這個(gè)平面內(nèi)，最后證明四點(diǎn)共線． 　證明 ∵ AB//CD， AB，CD確定一個(gè)平面β． 　又∵AB ∩α＝E，ABβ， Eα，Eβ， 　即 E為平面α與β的一個(gè)公共點(diǎn)． 同理可證F，G，H均為平面α與β的公共點(diǎn)．

∵ 兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，它們有且只有一條通過(guò)公共點(diǎn)的公共直線， ∴ E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線． 　點(diǎn)　評(píng)：在立體幾何的問(wèn)題中，證明若干點(diǎn)共線時(shí)，先證明這些點(diǎn)都是某兩平面的公共點(diǎn)，而后得出這些點(diǎn)都在二平面的交線上的結(jié)論．

[例5]如圖，已知平面α，β，且α∩β＝．設(shè)梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求證：AB，CD，共點(diǎn)(相交于一點(diǎn))． 　 分析：AB，CD是梯形ABCD的兩條腰，必定相交于一點(diǎn)M，只要證明M在上，而是兩個(gè)平面α，β的交線，因此，只要證明M∈α，且M∈β即可．

證明： ∵ 梯形ABCD中，AD∥BC， 　∴AB，CD是梯形ABCD的兩條腰． 　∴ AB，CD必定相交于一點(diǎn)， 　設(shè) AB ∩CD＝M． 　又∵ ABα，CDβ，∴ M∈α，且M∈β． 　∴ M∈α∩β． 　又∵ α∩β＝，∴ M∈， 　即 AB，CD，共點(diǎn)．

　點(diǎn)　評(píng)：證明多條直線共點(diǎn)時(shí)，與證明多點(diǎn)共線是一樣的．

　[例6]已知：a，b，c，d是不共點(diǎn)且兩兩相交的四條直線，求證：a，b，c，d共面． 　 分析：弄清楚四條直線不共點(diǎn)且兩兩相交的含義：四條直線不共點(diǎn)，包括有三條直線共點(diǎn)的情況；兩兩相交是指任何兩條直線都相交．在此基礎(chǔ)上，根據(jù)平面的性質(zhì)，確定一個(gè)平面，再證明所有的直線都在這個(gè)平面內(nèi)．

證明 1º若當(dāng)四條直線中有三條相交于一點(diǎn)，不妨設(shè)a，b，c相交于一點(diǎn)　A　 ∴ 直線d和A確定一個(gè)平面α．

　又設(shè)直線d與a，b，c分別相交于E，F(xiàn)，G， 則 A，E，F(xiàn)，G∈α． ∵ A，E∈α，A，E∈a， ∴ aα． 同理可證 bα，cα． ∴ a，b，c，d在同一平面α內(nèi)． 2º當(dāng)四條直線中任何三條都不共點(diǎn)時(shí)，如圖． ∵ 這四條直線兩兩相交， 則設(shè)相交直線a，b確定一個(gè)平面α． 設(shè)直線c與a，b分別交于點(diǎn)H，K， 則 H，K∈α． 又∵ H，K∈c，∴ cα． 同理可證 dα． ∴ a，b，c，d四條直線在同一平面α內(nèi)．

點(diǎn)　評(píng)：證明若干條線(或若干個(gè)點(diǎn))共面的一般步驟是：首先由題給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證明其余的線(或點(diǎn))均在這個(gè)平面內(nèi)．本題最容易忽視“三線共點(diǎn)”這一種情況．因此，在分析題意時(shí)，應(yīng)仔細(xì)推敲問(wèn)題中每一句話的含義．

[例7] 在立方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中， 　(1)找出平面AC的斜線BD₁在平面AC內(nèi)的射影； 　(2)直線BD₁和直線AC的位置關(guān)系如何？ 　(3)直線BD₁和直線AC所成的角是多少度？

解：(1)連結(jié)BD, 交AC于點(diǎn)O .

(2)BD₁和AC是異面直線.

(3)過(guò)O作BD₁的平行線交DD₁于點(diǎn)M，連結(jié)MA、MC，則∠MOA或其補(bǔ)角即為異面直線AC和BD₁所成的角.

不難得到MA＝MC，而O為AC的中點(diǎn)，因此MO⊥AC，即∠MOA＝90°， ∴異面直線BD₁與AC所成的角為90°.

[例8] 已知：在直角三角形ABC中，A為直角，PA⊥平面ABC，BD⊥PC，垂足為D，求證：AD⊥PC 證明：∵　PA ⊥平面ABC∴　PA⊥BA 　又∵　BA⊥AC ∴　BA⊥平面PAC 　∴　AD是BD在平面PAC內(nèi)的射影 　又∵　BD⊥PC　 ∴　AD⊥PC.(三垂線定理的逆定理) 四、典型習(xí)題導(dǎo)練

1．如圖, P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC后，在包括AB、BC、CA的六條棱所在的直線中，異面直線的對(duì)數(shù)為(　 )

　 A.2對(duì)　 B.3對(duì)　 C.4對(duì)　 D.6對(duì)

5．異面直線的證明一般用反證法、異面直線的判定方法：如圖，如果b,A且A,a,則a與b異面.

4．異面直線的距離是指夾在兩異面直線之間公垂線段的長(zhǎng)度.求兩條異面直線的距離關(guān)鍵是找到它們的公垂線.

3．異面直線的公垂線要求和兩條異面直線垂直并且相交，

2．異面直線所成的角是指經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)作兩條分別和異面的兩條直線平行的直線所成的銳角(或直角).一般通過(guò)平移后轉(zhuǎn)化到三角形中求角，注意角的范圍.

1．異面直線是指不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn).強(qiáng)調(diào)任何一個(gè)平面.

5.　　　　　 反證法.會(huì)用反證法證明一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

4.　　　　　 異面直線.異面直線所成的角；兩條異面直線互相垂直的概念；異面直線的公垂線及距離.