12. 函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性。

①滿足條件的函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)。如已知二次函數(shù)滿足條件且方程有等根，則＝_____(答：)；

②點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為；函數(shù)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)曲線方程為；

③點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為；函數(shù)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)曲線方程為；

④點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為；函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)曲線方程為；

⑤點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為；曲線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)曲線的方程為。特別地，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為；曲線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)曲線的方程為

；點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為；曲線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)曲線的方程為。如己知函數(shù),若的圖像是,它關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)圖像是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖像為對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是___________(答：)；

⑥曲線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)曲線的方程為。如若函數(shù)與的圖象關(guān)于點(diǎn)(-2，3)對(duì)稱(chēng)，則＝______(答：)

⑦形如的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線

(由分母為零確定)和直線(由分子、分母中的系數(shù)確定)，對(duì)稱(chēng)中心是點(diǎn)。如已知函數(shù)圖象與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且圖象關(guān)于點(diǎn)(2，－3)對(duì)稱(chēng)，則a的值為_(kāi)_____(答：2)

⑧的圖象先保留原來(lái)在軸上方的圖象，作出軸下方的圖象關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)圖形，然后擦去軸下方的圖象得到；的圖象先保留在軸右方的圖象，擦去軸左方的圖象，然后作出軸右方的圖象關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)圖形得到。如(1)作出函數(shù)及的圖象；(2)若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于____對(duì)稱(chēng) (答：軸)　

提醒：(1)從結(jié)論②③④⑤⑥可看出，求對(duì)稱(chēng)曲線方程的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是利用代入法轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題；(2)證明函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性，即證明圖像上任一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心(對(duì)稱(chēng)軸)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在圖像上；(3)證明圖像與的對(duì)稱(chēng)性，需證兩方面：①證明上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心(對(duì)稱(chēng)軸)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在上；②證明上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心(對(duì)稱(chēng)軸)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在上。如(1)已知函數(shù)。求證：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形；(2)設(shè)曲線C的方程是,將C沿軸, 軸正方向分別平行移動(dòng)單位長(zhǎng)度后得曲線。①寫(xiě)出曲線的方程(答：)；②證明曲線C與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。

11. 常見(jiàn)的圖象變換

①函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位得到的。如設(shè)的圖像與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，的圖像由的圖像向右平移1個(gè)單位得到，則為_(kāi)_________(答： )

②函數(shù)(的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位得到的。如(1)若，則函數(shù)的最小值為_(kāi)___(答：2)；(2)要得到的圖像，只需作關(guān)于_____軸對(duì)稱(chēng)的圖像，再向____平移3個(gè)單位而得到(答：；右)；(3)函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有____個(gè)(答：2)

③函數(shù)+的圖象是把函數(shù)助圖象沿軸向上平移個(gè)單位得到的；

④函數(shù)+的圖象是把函數(shù)助圖象沿軸向下平移個(gè)單位得到的；如將函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位后又向下平移2個(gè)單位,所得圖象如果與原圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),那么 　　　　　　　　　　(答：C)

⑤函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來(lái)的得到的。如(1)將函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的(縱坐標(biāo)不變)，再將此圖像沿軸方向向左平移2個(gè)單位，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為_(kāi)____(答：)；(2)如若函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程是_______(答：)．

⑥函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來(lái)的倍得到的.

10.函數(shù)的單調(diào)性。

(1)確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法：

①在解答題中常用：定義法(取值--作差--變形--定號(hào))、導(dǎo)數(shù)法(在區(qū)間內(nèi)，若總有，則為增函數(shù)；反之，若在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，則，請(qǐng)注意兩者的區(qū)別所在。如已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是____(答：))；

②在選擇填空題中還可用數(shù)形結(jié)合法、特殊值法等等，特別要注意

型函數(shù)的圖象和單調(diào)性在解題中的運(yùn)用：增區(qū)間為，減區(qū)間為.如(1)若函數(shù) 在區(qū)間(－∞，4] 上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是______(答：))；(2)已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍_____(答：)；(3)若函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______(答：且))；

③復(fù)合函數(shù)法：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的特點(diǎn)是同增異減，如函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________(答：(1,2))。

(2)特別提醒：求單調(diào)區(qū)間時(shí)，一是勿忘定義域，如若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求的取值范圍(答：)；二是在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不一定能添加符號(hào)“”和“或”；三是單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示．

(3)你注意到函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的逆用了嗎?(①比較大小；②解不等式；③求參數(shù)范圍).如已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù),若，求實(shí)數(shù)的取值范圍。(答：)

9.函數(shù)的奇偶性。

(1)具有奇偶性的函數(shù)的定義域的特征：定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)！為此確定函數(shù)的奇偶性時(shí)，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。如若函數(shù)，

為奇函數(shù)，其中，則的值是　 (答：0)；

(2)確定函數(shù)奇偶性的常用方法(若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡(jiǎn)，再判斷其奇偶性)：

①定義法：如判斷函數(shù)的奇偶性____(答：奇函數(shù))。

②利用函數(shù)奇偶性定義的等價(jià)形式：或()。如判斷的奇偶性___.(答：偶函數(shù))

③圖像法：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)。

(3)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：

①奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.

②如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù).

③若為偶函數(shù)，則.如若定義在R上的偶函數(shù)在上是減函數(shù)，且=2，則不等式的解集為_(kāi)_____.(答：)

④若奇函數(shù)定義域中含有0，則必有.故是為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件。如若為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)＝____(答：1).

⑤定義在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的任意一個(gè)函數(shù)，都可表示成“一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和(或差)”。如設(shè)是定義域?yàn)镽的任一函數(shù)， ，。①判斷與的奇偶性； ②若將函數(shù)，表示成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)之和，則＝____(答：①為偶函數(shù)，為奇函數(shù)；②＝)

⑥復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.

⑦既奇又偶函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)(，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的任意一個(gè)數(shù)集).

8. 反函數(shù)：

(1)存在反函數(shù)的條件是對(duì)于原來(lái)函數(shù)值域中的任一個(gè)值，都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，故單調(diào)函數(shù)一定存在反函數(shù)，但反之不成立；偶函數(shù)只有有反函數(shù)；周期函數(shù)一定不存在反函數(shù)。如函數(shù)在區(qū)間[1, 2]上存在反函數(shù)的充要條件是A、　B、　C、　D、　(答：D)

(2)求反函數(shù)的步驟：①反求；②互換 、；③注明反函數(shù)的定義域(原來(lái)函數(shù)的值域)。注意函數(shù)的反函數(shù)不是，而是。如設(shè).求的反函數(shù)(答：)．

(3)反函數(shù)的性質(zhì)：

①反函數(shù)的定義域是原來(lái)函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原來(lái)函數(shù)的定義域。如單調(diào)遞增函數(shù)滿足條件= x ，其中≠ 0 ，若的反函數(shù)的定義域?yàn)?sub> ，則的定義域是____________(答：[4,7]).

②函數(shù)的圖象與其反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，注意函數(shù)的圖象與的圖象相同。如(1)已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(1,1),那么的反函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)_____(答：(1,3))；(2)已知函數(shù)，若函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，求的值(答：)；

③。如(1)已知函數(shù)，則方程的解______(答：1)；(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱(chēng)，且存在反函數(shù)，f (4)＝0，則＝　　 (答：－2)

④互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性和奇函數(shù)性。如已知是上的增函數(shù)，點(diǎn)在它的圖象上，是它的反函數(shù)，那么不等式的解集為_(kāi)_______(答：(2,8))；

⑤設(shè)的定義域?yàn)锳，值域?yàn)锽，則有，

，但。

7.求函數(shù)解析式的常用方法：

(1)待定系數(shù)法--已知所求函數(shù)的類(lèi)型(二次函數(shù)的表達(dá)形式有三種：一般式：；頂點(diǎn)式：；零點(diǎn)式：，要會(huì)根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，靈活地選用二次函數(shù)的表達(dá)形式)。如已知為二次函數(shù)，且 ，且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2,求的解析式 。(答：)

(2)代換(配湊)法--已知形如的表達(dá)式，求的表達(dá)式。如(1)已知求的解析式(答：)；(2)若，則函數(shù)=_____(答：)；(3)若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，那么當(dāng)時(shí)，=________(答：). 這里需值得注意的是所求解析式的定義域的等價(jià)性，即的定義域應(yīng)是的值域。

(3)方程的思想--已知條件是含有及另外一個(gè)函數(shù)的等式，可抓住等式的特征對(duì)等式的進(jìn)行賦值，從而得到關(guān)于及另外一個(gè)函數(shù)的方程組。如(1)已知，求的解析式(答：)；(2)已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且+= ,則=　　　 __(答：)。

6.分段函數(shù)的概念。分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，它是一類(lèi)較特殊的函數(shù)。在求分段函數(shù)的值時(shí)，一定首先要判斷屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代相應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集。如(1)設(shè)函數(shù)，則使得的自變量的取值范圍是__________(答：)；(2)已知，則不等式的解集是________(答：)

5.求函數(shù)值域(最值)的方法：

(1)配方法--二次函數(shù)(二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類(lèi)：一是求閉區(qū)間上的最值；二是求區(qū)間定(動(dòng))，對(duì)稱(chēng)軸動(dòng)(定)的最值問(wèn)題。求二次函數(shù)的最值問(wèn)題，勿忘數(shù)形結(jié)合，注意“兩看”：一看開(kāi)口方向；二看對(duì)稱(chēng)軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系)，如(1)求函數(shù)的值域(答：[4,8])；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)取得最大值，則的取值范圍是___(答：)；(3)已知的圖象過(guò)點(diǎn)(2,1)，則的值域?yàn)開(kāi)_____(答：[2, 5])

(2)換元法--通過(guò)換元把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單易求值域的函數(shù)，其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，如(1)的值域?yàn)開(kāi)____(答：)；(2)的值域?yàn)開(kāi)____(答：)(令，。運(yùn)用換元法時(shí)，要特別要注意新元的范圍)；(3)的值域?yàn)開(kāi)___(答：)；(4)的值域?yàn)開(kāi)___(答：)；

(3)函數(shù)有界性法--直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過(guò)函數(shù)的有界性，來(lái)確定所求函數(shù)的值域，最常用的就是三角函數(shù)的有界性，如求函數(shù)，，的值域(答： 、(0,1)、)；

(4)單調(diào)性法--利用一次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性，如求，，的值域?yàn)開(kāi)_____(答：、、)；

(5)數(shù)形結(jié)合法--函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離、直線斜率、等等，如(1)已知點(diǎn)在圓上，求及的取值范圍(答：、)；(2)求函數(shù)的值域(答：)；(3)求函數(shù)及的值域(答：、)注意：求兩點(diǎn)距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形，使兩定點(diǎn)在軸的兩側(cè)，而求兩點(diǎn)距離之差時(shí)，則要使兩定點(diǎn)在軸的同側(cè)。

(6)判別式法--對(duì)分式函數(shù)(分子或分母中有一個(gè)是二次)都可通用，但這類(lèi)題型有時(shí)也可以用其它方法進(jìn)行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過(guò)部分分式后，再利用均值不等式：

①型，可直接用不等式性質(zhì)，如求的值域(答：)

②型，先化簡(jiǎn)，再用均值不等式，如(1)求的值域(答：)；(2)求函數(shù)的值域(答：)

③型，通常用判別式法；如已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，2]，求常數(shù)的值(答：)

④型，可用判別式法或均值不等式法，如求的值域(答：)

(7)不等式法--利用基本不等式求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過(guò)有時(shí)須要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。如設(shè)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的取值范圍是____________.(答：)。

(8)導(dǎo)數(shù)法--一般適用于高次多項(xiàng)式函數(shù)，如求函數(shù)，的最小值。(答：－48)

提醒：(1)求函數(shù)的定義域、值域時(shí)，你按要求寫(xiě)成集合形式了嗎？(2)函數(shù)的最值與值域之間有何關(guān)系？

4. 求函數(shù)定義域的常用方法(在研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)要樹(shù)立定義域優(yōu)先的原則)：

(1)根據(jù)解析式要求如偶次根式的被開(kāi)方大于零，分母不能為零，對(duì)數(shù)中且，三角形中, 最大角，最小角等。如(1)函數(shù)的定義域是____(答：)；(2)若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則_______(答：)；(3)函數(shù)的定義域是，，則函數(shù)的定義域是__________(答：)；(4)設(shè)函數(shù)，①若的定義域是R，求實(shí)數(shù)的取值范圍；②若的值域是R，求實(shí)數(shù)的取值范圍(答：①；②)

(2)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的要求確定自變量的范圍。

(3)復(fù)合函數(shù)的定義域：若已知的定義域?yàn)?sub>,其復(fù)合函數(shù)的定義域由不等式解出即可；若已知的定義域?yàn)?sub>,求的定義域，相當(dāng)于當(dāng)時(shí)，求的值域(即的定義域)。如(1)若函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，則的定義域?yàn)開(kāi)_________(答：)；(2)若函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，則函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_______(答：[1,5])．

3. 同一函數(shù)的概念。構(gòu)成函數(shù)的三要素是定義域，值域和對(duì)應(yīng)法則。而值域可由定義域和對(duì)應(yīng)法則唯一確定，因此當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同時(shí)，它們一定為同一函數(shù)。如若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱(chēng)這些函數(shù)為“天一函數(shù)”，那么解析式為，值域?yàn)閧4，1}的“天一函數(shù)”共有______個(gè)(答：9)