例1 已知函數(shù)的圖象上的一點(diǎn)及

臨近一點(diǎn)則　　　　 .

解:

∴

例2 求在附近的平均變化率.

解:

所以

　 　所以在附近的平均變化率為

(二)平均變化率概念

1.上述問(wèn)題中的變化率可用式子表示,

稱(chēng)為函數(shù)從到的平均變化率.

2.若設(shè), (這里看作是對(duì)于的一個(gè)“增量”可用代替,同樣)

則平均變化率為

思考: 觀(guān)察函數(shù)的圖象

平均變化率表示什么?

(一)問(wèn)題提出

問(wèn)題1 氣球膨脹率

　　 我們都吹過(guò)氣球回憶一下吹氣球的過(guò)程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來(lái)越慢.從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?

氣球的體積(單位:)與半徑(單位:)之間的函數(shù)關(guān)系是

如果將半徑表示為體積的函數(shù),那么

分析:

(1)當(dāng)從增加到時(shí),氣球半徑增加了

氣球的平均膨脹率為

(2)當(dāng)從增加到時(shí),氣球半徑增加了

氣球的平均膨脹率為

可以看出,隨著氣球體積逐漸增大,它的平均膨脹率逐漸變小了.

思考: 當(dāng)空氣容量從V₁增加到V₂時(shí),氣球的平均膨脹率是多少?

問(wèn)題2 高臺(tái)跳水

在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度(單位:)與起跳后的時(shí)間(單位:)存在函數(shù)關(guān)系.如何用運(yùn)動(dòng)員在某些時(shí)間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)?

思考計(jì)算: 和的平均速度

在這段時(shí)間里,

在這段時(shí)間里,

探究: 計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速度,并思考以下問(wèn)題:

(1)運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)使靜止的嗎？

(2)你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問(wèn)題嗎？

探究過(guò)程: 如圖是函數(shù)的圖像,

結(jié)合圖形可知,,所以

雖然運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速度為,

但實(shí)際情況是運(yùn)動(dòng)員仍然運(yùn)動(dòng),并非靜止,

可以說(shuō)明用平均速度不能精確描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大(小)值等問(wèn)題最一般、最有效的工具.

導(dǎo)數(shù)研究的問(wèn)題即變化率問(wèn)題:研究某個(gè)變量相對(duì)于另一個(gè)變量變化的快慢程度.

為了描述現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動(dòng)、過(guò)程等變化著的現(xiàn)象,在數(shù)學(xué)中引入了函數(shù),隨著對(duì)函數(shù)的研究,產(chǎn)生了微積分,微積分的創(chuàng)立以自然科學(xué)中四類(lèi)問(wèn)題的處理直接相關(guān):

(15) 已知向量.

是否存在實(shí)數(shù)若存在，則求出x的值；若不存在，則證明之.

(16)如圖，在Rt△ABC中，已知BC=a，若長(zhǎng)為2a的線(xiàn)段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，問(wèn)

與的夾角θ取何值時(shí)，·的值最大？并求出這個(gè)最大值.

(17)已知兩點(diǎn)M(-1,0), N(1, 0), 且點(diǎn)P使成公差小于零的等差數(shù)列.

(Ⅰ)點(diǎn)P的軌跡是什么曲線(xiàn)?

(Ⅱ)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x_0, y₀), 記θ為,的夾角, 求tanθ.

(18)中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，已知成等比數(shù)列，且

(Ⅰ)求的值

(Ⅱ)設(shè)，求的值。

(11)已知向量，且A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)，則k=___

(12)已知向量與的夾角為120°,且||=2, ||=5,則(2-)·=　　　　 .

(13已知向量不超過(guò)5，則k的取值范圍是_______

(14) 直角坐標(biāo)平面中，若定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則點(diǎn)P的軌跡方程是__________

(1) 若，且，則向量與的夾角為　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )

A　 30°　　　　　　　　　　　 B　 60°　　 　　　　　　　　　　　C 　120°　　　　　　　　　　　　 D　 150°

(2) P是△ABC所在平面上一點(diǎn)，若，則P是△ABC的(　 )

　A　 外心　　　　　　　 B　 內(nèi)心　　　　　　　　 C　 重心　　　　　　　　 D　 垂心

(3)已知平行四邊形ABCD中,　 =(3, 7 ), =(-2, 3 ), 對(duì)角線(xiàn)AC, BD交于點(diǎn)O,

則的坐標(biāo)為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　　 )

　　　　 A 　(-, 5) 　　　　　　　　　B (-, -5)　　 　　　　　　　C (, -5) 　　　　　　　　　　D (, 5) 　

(4) 已知向量(　 　　　)

A　 30°　　　 　　　　　　　　 B　 60°　　　 　　　　　 C　 120°　 　 　　　　D　 150°

(5)為了得到函數(shù)y＝sin(2x-)的圖像,可以將函數(shù)y＝cos2x的圖像　　　　　　　　　 　　　　　　　(　　　 )

A 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度　　　　　 B 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度

C 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度　　　　　 D 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度

(6) 點(diǎn)P在平面上作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，速度向量=(4，－3)(即點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方向與v相同，且每秒移動(dòng)的距離為||個(gè)單位.設(shè)開(kāi)始時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－10，10)，則5秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )

A　 (－2，4)　　 　 B (－30，25)　　　 C (10，－5)　 　　　 D (5，－10)

(7) 在△ABC中，∠C=90°，則k的值是　　　　 　　　 ( 　　　)

A　 5　　 　　　 　　　　　　　　B　 －5　 　　 　　　　　　　C　 　 　　　　　　　　　　　　　　D　

(8) 已知、均為單位何量,它們的夾角為60°,那么| + 3 | =　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )

A　 　　　　　　　　　　　　B　 　　　　　　　　　　　　C　 　　　　　　　　　　　　　　D　 4

(9) 已知點(diǎn)A(，1)，B(0，0)C(，0).設(shè)∠BAC的平分線(xiàn)AE與BC相交于E，那么有等于　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )

A　 2　　 　　　　　　 B　 　 　　　　　　　　　　　　C　 －3 　　　　　　　　　　　　 D　 －

(10) 已知向量≠，||＝1，對(duì)任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，則　　　　　　 (　　　 )

A 　⊥　　 　　　　　　B 　⊥(－)　 　　　　C　　 ⊥(－) 　　　　　　　D　 (+)⊥(－)

25.(09年重慶卷)(19分)如題25圖，離子源A產(chǎn)生的初速為零、帶電量均為e、質(zhì)量不同的正離子被電壓為U₀的加速電場(chǎng)加速后勻速通過(guò)準(zhǔn)直管，垂直射入勻強(qiáng)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，偏轉(zhuǎn)后通過(guò)極板HM上的小孔S離開(kāi)電場(chǎng)，經(jīng)過(guò)一段勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，垂直于邊界MN進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。已知HO=d，HS=2d，=90°。(忽略粒子所受重力)

(1)求偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E₀的大小以及HM與MN的夾角；

(2)求質(zhì)量為m的離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑；

(3)若質(zhì)量為4m的離子垂直打在NQ的中點(diǎn)處，質(zhì)量為16m的離子打在處。求和之間的距離以及能打在NQ上的正離子的質(zhì)量范圍。

解析：