題目列表(包括答案和解析)
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且 (N*),其中.
(Ⅰ) 求的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ) 設(shè) (N*).
①證明: ;
② 求證:.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解和運(yùn)用。運(yùn)用關(guān)系式,表示通項(xiàng)公式,然后得到第一問,第二問中利用放縮法得到,②由于,
所以利用放縮法,從此得到結(jié)論。
解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),由得. ……2分
若存在由得,
從而有,與矛盾,所以.
從而由得得. ……6分
(Ⅱ)①證明:
證法一:∵∴
∴
∴.…………10分
證法二:,下同證法一. ……10分
證法三:(利用對(duì)偶式)設(shè),,
則.又,也即,所以,也即,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921381634452104/SYS201206192140215789581034_ST.files/image037.png">,所以.即
………10分
證法四:(數(shù)學(xué)歸納法)①當(dāng)時(shí), ,命題成立;
②假設(shè)時(shí),命題成立,即,
則當(dāng)時(shí),
即
即
故當(dāng)時(shí),命題成立.
綜上可知,對(duì)一切非零自然數(shù),不等式②成立. ………………10分
②由于,
所以,
從而.
也即
已知向量(),向量,,
且.
(Ⅰ)求向量; (Ⅱ)若,,求.
【解析】本試題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算,以及兩角和差的三角函數(shù)關(guān)系式的運(yùn)用。
(1)問中∵,∴,…………………1分
∵,得到三角關(guān)系是,結(jié)合,解得。
(2)由,解得,,結(jié)合二倍角公式,和,代入到兩角和的三角函數(shù)關(guān)系式中就可以求解得到。
解析一:(Ⅰ)∵,∴,…………1分
∵,∴,即 ① …………2分
又 ② 由①②聯(lián)立方程解得,,5分
∴ ……………6分
(Ⅱ)∵即,, …………7分
∴, ………8分
又∵, ………9分
, ……10分
∴.
解法二: (Ⅰ),…………………………………1分
又,∴,即,①……2分
又 ②
將①代入②中,可得 ③ …………………4分
將③代入①中,得……………………………………5分
∴ …………………………………6分
(Ⅱ) 方法一 ∵,,∴,且……7分
∴,從而. …………………8分
由(Ⅰ)知, ; ………………9分
∴. ………………………………10分
又∵,∴, 又,∴ ……11分
綜上可得 ………………………………12分
方法二∵,,∴,且…………7分
∴. ……………8分
由(Ⅰ)知, . …………9分
∴ ……………10分
∵,且注意到,
∴,又,∴ ………………………11分
綜上可得 …………………12分
(若用,又∵ ∴ ,
已知函數(shù)
(1)若函數(shù)的圖象經(jīng)過P(3,4)點(diǎn),求a的值;
(2)比較大小,并寫出比較過程;
(3)若,求a的值.
【解析】本試題主要考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用。第一問中,因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過P(3,4)點(diǎn),所以,解得,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921574878204718/SYS201206192159225008161918_ST.files/image007.png">,所以.
(2)問中,對(duì)底數(shù)a進(jìn)行分類討論,利用單調(diào)性求解得到。
(3)中,由知,.,指對(duì)數(shù)互化得到,,所以,解得所以, 或 .
解:⑴∵函數(shù)的圖象經(jīng)過∴,即. … 2分
又,所以. ………… 4分
⑵當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),. ……………… 6分
因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921574878204718/SYS201206192159225008161918_ST.files/image021.png">,
當(dāng)時(shí),在上為增函數(shù),∵,∴.
即.當(dāng)時(shí),在上為減函數(shù),
∵,∴.即. …………………… 8分
⑶由知,.所以,(或).
∴.∴, … 10分
∴ 或 ,所以, 或 .
函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且。
(1)求實(shí)數(shù)a,b,并確定函數(shù)的解析式;
(2)判斷在(-1,1)上的單調(diào)性,并用定義證明你的結(jié)論;
(3)寫出的單調(diào)減區(qū)間,并判斷有無最大值或最小值?如有,寫出最大值或最小值。(本小問不需要說明理由)
【解析】本試題主要考查了函數(shù)的解析式和奇偶性和單調(diào)性的綜合運(yùn)用。第一問中,利用函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且。
解得,
(2)中,利用單調(diào)性的定義,作差變形判定可得單調(diào)遞增函數(shù)。
(3)中,由2知,單調(diào)減區(qū)間為,并由此得到當(dāng),x=-1時(shí),,當(dāng)x=1時(shí),
解:(1)是奇函數(shù),。
即,,………………2分
,又,,,
(2)任取,且,
,………………6分
,
,,,,
在(-1,1)上是增函數(shù)!8分
(3)單調(diào)減區(qū)間為…………………………………………10分
當(dāng),x=-1時(shí),,當(dāng)x=1時(shí),。
已知函數(shù) R).
(Ⅰ)若 ,求曲線 在點(diǎn) 處的的切線方程;
(Ⅱ)若 對(duì)任意 恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
第一問中,利用當(dāng)時(shí),.
因?yàn)榍悬c(diǎn)為(), 則,
所以在點(diǎn)()處的曲線的切線方程為:
第二問中,由題意得,即即可。
Ⅰ)當(dāng)時(shí),.
,
因?yàn)榍悬c(diǎn)為(), 則,
所以在點(diǎn)()處的曲線的切線方程為:. ……5分
(Ⅱ)解法一:由題意得,即. ……9分
(注:凡代入特殊值縮小范圍的均給4分)
,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911405226518211/SYS201207091141419057564738_ST.files/image016.png">,所以恒成立,
故在上單調(diào)遞增, ……12分
要使恒成立,則,解得.……15分
解法二: ……7分
(1)當(dāng)時(shí),在上恒成立,
故在上單調(diào)遞增,
即. ……10分
(2)當(dāng)時(shí),令,對(duì)稱軸,
則在上單調(diào)遞增,又
① 當(dāng),即時(shí),在上恒成立,
所以在單調(diào)遞增,
即,不合題意,舍去
②當(dāng)時(shí),, 不合題意,舍去 14分
綜上所述:
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