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一對(duì)夫婦攜帶有白化病遺傳基因，研究證明他們生出的小孩患有白化病的概率為，不患此病的概率為；他們生出的孩子是男孩或女孩的概率均為．現(xiàn)在已知該夫婦有三個(gè)孩子．
（1）求三個(gè)孩子是同性別的患病孩子的概率P₁；
（2）求三個(gè)孩子中有兩個(gè)是患病男孩，一個(gè)是患病女孩的概率P₂．

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數(shù)學(xué)（理）

第I卷（共60分）

一、選擇題（每小題5分，共60分）

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

B

C

C

A

A

A

A

D

B

A

A

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空題（每小題4分，共16分）

13．       14．3       15．97        16．③

三、解答題（共74分）

17．（本小題滿分12分）

   （I）的內(nèi)角和。

        ，

   （Ⅱ）

         當(dāng)即時(shí)，取最大值

18．（本題滿分12分）

    記A：該夫婦生一個(gè)小孩是患病男孩，B：該夫婦生一個(gè)小孩是患病女孩：C：該夫婦生一個(gè)小孩是不患病男孩；D：該夫婦生一個(gè)小孩是不患病女孩，則

   （I）

   （Ⅱ）顯然，的取值為0，1，2，3

          所以的分布列為

0

1

2

3

          顯然，，故

19．（本題滿分12分）

解法一：（I）證明：連接，設(shè)，連接DE

     三棱柱是正三棱柱，且，

     四邊形是正方形，

     ∴E是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，

     ∴

     ∵平面平面，

     ∴平面

（Ⅱ）解：在平面內(nèi)作于點(diǎn)，在面；內(nèi)作于連接。

     ∵平面平面，∴平面，

     ∵是在平面上的射影，

     ∴是二面角的平面角

     設(shè)在正中，

     在中，在中，

     從而

     所以，二面角的平面角的余弦值為

解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

（I）證明：連接設(shè)，連接，設(shè)

    則

    平面平面平面

（Ⅱ）解：∵

      設(shè)是平面的法向量，則，且

      故，取，得；

      同理，可求得平面的法向量是

      設(shè)二面角的大小為，則

      所以，二面角的平面角的余弦值為

20．（本題滿分12分）

  （I）

       在上是增函數(shù)，

       在上恒成立，即恒成立。

       （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），

       所以

 （Ⅱ）設(shè)，則

      （1）當(dāng)時(shí)，最小值為；

      （2）當(dāng)時(shí)，最小值為

21．（本題滿分12分）

  （I）將代入得，整理得

      由得，故

（Ⅱ）當(dāng)兩條切線的斜率都存在而且不等于時(shí)，設(shè)其中一條的斜率為k，

      則另外一條的斜率為

      于是由上述結(jié)論可知橢圓斜率為k的切線方程為

          ①

      又橢圓斜率為的切線方程為

          ②

      由①得

      由②得

      兩式相加得

      于是，所求P點(diǎn)坐標(biāo)滿足因此，

      當(dāng)一條切線的斜率不存在時(shí)，另一條切線的斜率必為0，此時(shí)顯然也有

      所以為定值。

22．（本題滿分14分）

 （I）由知

      當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得

        ①

      以代替得

         ②

      兩式相減得

      則，其中

      所以，數(shù)列為等差數(shù)列

（Ⅱ）由，結(jié)合（I）的結(jié)論知

      于是不等式

      因此，欲證原不等式成立，只需證即

      令，則在上恒正，

      在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，恒有

其他解法參照以上評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)評(píng)分

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