閱讀下面資料：
小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，對(duì)面積為a的△ABC逐次進(jìn)行以下操作：分別延長(zhǎng)AB、BC、CA至A₁、B₁、C₁，使得A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA，順次連接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁，記其面積為S₁，求S₁的值．
小明是這樣思考和解決這個(gè)問(wèn)題的：如圖2，連接A₁C、B₁A、C₁B，因?yàn)锳₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA，根據(jù)等高兩三角形的面積比等于底之比，所以S△A1BC=S△B1CA=S△C1AB=2S△ABC=2a，由此繼續(xù)推理，從而解決了這個(gè)問(wèn)題．

（1）直接寫(xiě)出S₁=（用含字母a的式子表示）．
請(qǐng)參考小明同學(xué)思考問(wèn)題的方法，解決下列問(wèn)題：
（2）如圖3，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AP、BP、CP并延長(zhǎng)分別交邊BC、AC、AB于點(diǎn)D、E、F，則把△ABC分成六個(gè)小三角形，其中四個(gè)小三角形面積已在圖上標(biāo)明，求△ABC的面積．
（3）如圖4，若點(diǎn)P為△ABC的邊AB上的中線CF的中點(diǎn)，求S_△APE與S_△BPF的比值．

（2012•博野縣模擬）閱讀下面材料：
小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，△ABO和△CDO均為等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．若△BOC的面積為1，試求以AD、BC、OC+OD的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形的面積．

小明是這樣思考的：要解決這個(gè)問(wèn)題，首先應(yīng)想辦法移動(dòng)這些分散的線段，構(gòu)造一個(gè)三角形，再計(jì)算其面積即可．他利用圖形變換解決了這個(gè)問(wèn)題，其解題思路是延長(zhǎng)CO到E，使得OE=CO，連接BE，可證△OBE≌△OAD，從而得到的△BCE即是以AD、BC、OC+OD的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形（如圖2）．
請(qǐng)你回答：圖2中△BCE的面積等于．
請(qǐng)你嘗試用平移、旋轉(zhuǎn)、翻折的方法，解決下列問(wèn)題：
如圖3，已知△ABC，分別以AB、AC、BC為邊向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI，連接EG、FH、ID．
（1）在圖3中利用圖形變換畫(huà)出并指明以EG、FH、ID的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的一個(gè)三角形（保留畫(huà)圖痕跡）；
（2）若△ABC的面積為1，則以EG、FH、ID的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形的面積等于．

（2013•南開(kāi)區(qū)一模）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，△ABO和△CBO均為等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，若△BOC的面積為1，試求以AD、BC、OC+OD的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形的面積．小明是這樣思考的：要解決這個(gè)問(wèn)題，首先應(yīng)想辦法移動(dòng)這些分散的線段，構(gòu)成一個(gè)三角形，在計(jì)算其面積即可．他利用圖形變換解決了這個(gè)問(wèn)題，其解題思路是延長(zhǎng)CO到E，使得OE=CO，連接BE，可證△OBE≌△OAD，從而等到的△BCE即時(shí)以AD、BC、OC+OD的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形（如圖2）．
（I）請(qǐng)你回答：圖2中△BCE的面積等于．
（II）請(qǐng)你嘗試用平移、旋轉(zhuǎn)、翻折的方法，解決下列問(wèn)題：如圖3，已知ABC，分別以AB、AC、BC為邊向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI，連接EG、FH、ID．若△ABC的面積為1，則以EG、FH、ID的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形的面積等于．

（2012•海淀區(qū)二模）閱讀下面材料：
小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：
我們定義：如果一個(gè)圖形繞著某定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度α （0°＜α＜360°） 后所得的圖形與原圖形重合，則稱此圖形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形．如等邊三角形就是一個(gè)旋轉(zhuǎn)角為120°的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形．如圖1，點(diǎn)O是等邊三角形△ABC的中心，D、E、F分別為AB、BC、CA的中點(diǎn)，請(qǐng)你將△ABC分割并拼補(bǔ)成一個(gè)與△ABC面積相等的新的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形．

小明利用旋轉(zhuǎn)解決了這個(gè)問(wèn)題，圖2中陰影部分所示的圖形即是與△ABC面積相等的新的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形．
請(qǐng)你參考小明同學(xué)解決問(wèn)題的方法，利用圖形變換解決下列問(wèn)題：
如圖3，在等邊△ABC中，E₁、E₂、E₃分別為AB、BC、CA 的中點(diǎn)，P₁、P₂，M₁、M₂，N₁、N₂分別為AB、BC、CA的三等分點(diǎn)．
（1）在圖3中畫(huà)出一個(gè)和△ABC面積相等的新的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，并用陰影表示（保留畫(huà)圖痕跡）；
（2）若△ABC的面積為a，則圖3中△FGH的面積為．

（2013•北京）閱讀下面材料：
小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在邊長(zhǎng)為a（a＞2）的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1，當(dāng)∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°時(shí)，求正方形MNPQ的面積．
小明發(fā)現(xiàn)，分別延長(zhǎng)QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四個(gè)全等的等腰直角三角形（如圖2）
請(qǐng)回答：
（1）若將上述四個(gè)等腰直角三角形拼成一個(gè)新的正方形（無(wú)縫隙不重疊），則這個(gè)新正方形的邊長(zhǎng)為；
（2）求正方形MNPQ的面積．
（3）參考小明思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：
如圖3，在等邊△ABC各邊上分別截取AD=BE=CF，再分別過(guò)點(diǎn)D，E，F(xiàn)作BC，AC，AB的垂線，得到等邊△RPQ．若S_△RPQ=

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，則AD的長(zhǎng)為．