已知函數(shù)f（x）=elnx，g（x）=e^-1•f（x）-（x+1）．（e=2.718…）
（1）求函數(shù)g（x）的極大值；
（2 ）求證：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln(n+1)(n∈N*)；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）與h（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，b，使得f（x）≤kx+b和h（x）≥kx+b都成立，則稱直線y=kx+b為函數(shù)f（x）與h（x）的“分界線”．設(shè)函數(shù)h(x)=

1

2

x2，試探究函數(shù)f（x）與h（x）是否存在“分界線”？若存在，請(qǐng)加以證明，并求出k，b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知數(shù)列{a_n}中，a1=

1

2

，點(diǎn)（n，2a_n+1-a_n）在直線y=x上，其中n=1，2，3…．
（Ⅰ）令b_n=a_n-1-a_n-3，求證數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（Ⅲ）設(shè)S_n、T_n分別為數(shù)列{a_n}、{b_n}的前n項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{

Sn+λTn

n

}為等差數(shù)列？若存在，試求出λ．若不存在，則說(shuō)明理由．

已知f（x）=a²x-

1

2

x³，x∈（-2，2）為正常數(shù)．
（1）可以證明：定理“若a、b∈R^*，則

a+b

2

≥

ab

（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）”推廣到三個(gè)正數(shù)時(shí)結(jié)論是正確的，試寫(xiě)出推廣后的結(jié)論（無(wú)需證明）；
（2）若f（x）＞0在（0，2）上恒成立，且函數(shù)f（x）的最大值大于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并由此猜測(cè)y=f（x）的單調(diào)性（無(wú)需證明）；
（3）對(duì)滿足（2）的條件的一個(gè)常數(shù)a，設(shè)x=x₁時(shí)，f（x）取得最大值．試構(gòu)造一個(gè)定義在D={x|x＞-2，且x≠4k-2，k∈N}上的函數(shù)g（x），使當(dāng)x∈（-2，2）時(shí)，g（x）=f（x），當(dāng)x∈D時(shí)，g（x）取得最大值的自變量的值構(gòu)成以x₁為首項(xiàng)的等差數(shù)列．

已知函數(shù)f（x）=lnx-

1

2

ax²+bx（a＞0），且f′（1）=0
（1）試用含有a的式子表示b，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）的最大值為g（a），試證明不等式：g（a）＞ln（1+

a

2

）-1
（3）首先閱讀材料：對(duì)于函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn)M（x₀，y₀）（x₀∈（x₁，x₂）），使得f（x）在點(diǎn)M處的切線l∥AB，則稱AB存在“相依切線”特別地，當(dāng)x₀=

x1+x2

2

時(shí)，則稱AB存在“中值相依切線”．請(qǐng)問(wèn)在函數(shù)f（x）的圖象上是否存在兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得AB存在“中值相依切線”？若存在，求出一組A、B的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

已知⊙C₁：x²+（y+5）²=5，點(diǎn)A（1，-3）
（Ⅰ）求過(guò)點(diǎn)A與⊙C₁相切的直線l的方程；
（Ⅱ）設(shè)⊙C₂為⊙C₁關(guān)于直線l對(duì)稱的圓，則在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得P到兩圓的切線長(zhǎng)之比為

2

？薦存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由．