Question

已知f（x）=a²x-

1

2

x³，x∈（-2，2）為正常數．
（1）可以證明：定理“若a、b∈R^*，則

a+b

2

≥

ab

（當且僅當a=b時取等號）”推廣到三個正數時結論是正確的，試寫出推廣后的結論（無需證明）；
（2）若f（x）＞0在（0，2）上恒成立，且函數f（x）的最大值大于1，求實數a的取值范圍，并由此猜測y=f（x）的單調性（無需證明）；
（3）對滿足（2）的條件的一個常數a，設x=x₁時，f（x）取得最大值．試構造一個定義在D={x|x＞-2，且x≠4k-2，k∈N}上的函數g（x），使當x∈（-2，2）時，g（x）=f（x），當x∈D時，g（x）取得最大值的自變量的值構成以x₁為首項的等差數列．

Answer 1

分析：（1）充分分析已知不等式的結構特點即可推廣出結論：

a+b+c

3

≥

3	abc

（當且僅當a=b=c時取等號）．
（2）首先對函數進行轉化，進而將問題轉化為：a2＞

1

2

x2在（0，2）上恒成立，即可獲得a的一個條件，基本不等式的推廣即可找到函數最大值的表達形式，即可獲得a的另一個條件，考慮到函數的奇偶性和最值性進而問題即可獲得解答；
（3）根據題意題意，結合函數的周期性特點選擇四個周期函數即可．

解答：解：（1）若a、b、c∈R⁺，則

a+b+c

3

≥

3	abc

（當且僅當a=b=c時取等號）．
（2）f（x）=ax²-

1

2

x3=x(a2-

1

2

x2)＞0在（0，2）上恒成立，
即a²＞

1

2

x2在（0，2）上恒成立，
∵

1

2

x2∈（0，2），∴a²≥2，即a≥

2

，
又∵[f(x)]2=x2(a2-

1

2

x2)(a2-

1

2

x2)≤[

x2+(a2- 1 2 x2)+(a2- 1 2 x2)

3

]3=(

2a2

3

)3
∴x²=a²-

1

2

x2，即x=

6

3

a時，
f_max=

2 6

9

a3＞1?a3＞

2 6

9

=

3 6

4

=(

6

2

)3?a＞

6

2

，
又∵x=

6

3

a∈（0，2），∴a∈(0，

6

)．綜上，得a∈[

2

，

6

)．
易知，f（x）是奇函數，∵x=

6

3

a時，函數有最大值，∴x=-

6

3

a時，函數有最小值．
故猜測：x∈(-2，-

6

3

a]∪ [

6

3

a，2)時，f（x）單調遞減；x∈[-

6

3

a，

6

3

a]時，f（x）單調遞增．
（3）依題意，只需構造以4為周期的周期函數即可．
如對x∈（4k-2，4k+2），k∈N，x-4k∈（-2，2），此時g（x）=g（x-4k）=f（x-4k），
即g（x）=a²（x-4k）-

1

2

 (x- 4k)3，x∈（4k-2，4k+2）．k∈N．

點評：本題考查的是數列與不等式的綜合問題．在解答的過程當中充分體現了推廣的思想、恒成立的思想以及構造的思想．值得同學們體會反思．