題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè),若對任意,,不等式 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】第一問利用的定義域是
由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3);單調(diào)遞減區(qū)間是
第二問中,若對任意不等式恒成立,問題等價(jià)于只需研究最值即可。
解: (I)的定義域是 ......1分
............. 2分
由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3);單調(diào)遞減區(qū)間是 ........4分
(II)若對任意不等式恒成立,
問題等價(jià)于, .........5分
由(I)可知,在上,x=1是函數(shù)極小值點(diǎn),這個(gè)極小值是唯一的極值點(diǎn),
故也是最小值點(diǎn),所以; ............6分
當(dāng)b<1時(shí),;
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)b>2時(shí),; ............8分
問題等價(jià)于 ........11分
解得b<1 或 或 即,所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是
設(shè)函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求曲線處的切線方程;
(2)當(dāng)時(shí),求的極大值和極小值;
(3)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】(1)中,先利用,表示出點(diǎn)的斜率值這樣可以得到切線方程。(2)中,當(dāng),再令,利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)性,進(jìn)而得到極值。(3)中,利用函數(shù)在給定區(qū)間遞增,說明了在區(qū)間導(dǎo)數(shù)恒大于等于零,分離參數(shù)求解范圍的思想。
解:(1)當(dāng)……2分
∴
即為所求切線方程。………………4分
(2)當(dāng)
令………………6分
∴遞減,在(3,+)遞增
∴的極大值為…………8分
(3)
①若上單調(diào)遞增。∴滿足要求!10分
②若
∵恒成立,
恒成立,即a>0……………11分
時(shí),不合題意。綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是
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