（本小題滿分13分）

對(duì)于定義域分別為的函數(shù)，規(guī)定：

函數(shù)

若函數(shù),求函數(shù)的取值集合；

若，設(shè)為曲線在點(diǎn)處切線的斜率；而是等差數(shù)列，公差為1，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為。求證：；

若，其中是常數(shù)，且，請(qǐng)問，是否存在一個(gè)定義域?yàn)?sub>的函數(shù)及一個(gè)的值，使得，若存在請(qǐng)寫出一個(gè)的解析式及一個(gè)的值，若不存在請(qǐng)說明理由。

如圖，在三棱柱中，側(cè)面，為棱上異于的一點(diǎn)，，已知，求：

（Ⅰ）異面直線與的距離；

（Ⅱ）二面角的平面角的正切值.

【解析】第一問中，利用建立空間直角坐標(biāo)系

解：（I）以B為原點(diǎn)，、分別為Y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系.由于，

在三棱柱中有

,

設(shè)

又側(cè)面，故. 因此是異面直線的公垂線，則，故異面直線的距離為1.

（II）由已知有故二面角的平面角的大小為向量與的夾角.

分別為A₁B₁、BC的中點(diǎn).

   （I）試求的值，使；

   （II）設(shè)AC₁的中點(diǎn)為P，在（I）的條件下，求證：NP⊥平面AC₁M.

（文）已知函數(shù)的極大值

為7；當(dāng)x=3時(shí)，f（x）有極小值.

（I）求函數(shù)f（x）的解析式；

（II）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線方程.

（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)=ae^x，g(x)= lna-ln(x +1)（其中a為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)底），函數(shù)y =f(x)在A(0，a)處的切線與y =g(x)在B(0，lna)處的切線互相垂直.

  (Ⅰ) 求f(x) ，g(x)的解析式；

  (Ⅱ) 求證：對(duì)任意n ÎN^*，    f(n)+g(n)>2n；

  (Ⅲ) 設(shè)y =g(x-1)的圖象為C₁，h(x)=-x²+bx的圖象為C₂，若C₁與C₂相交于P、Q，過PQ中點(diǎn)垂直于x軸的直線分別交C₁、C₂于M、N，問是否存在實(shí)數(shù)b，使得C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行？說明你的理由.