數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足3S_n=4014+a_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)f（n）表示該數(shù)列的前n項(xiàng)的積，n取何值時(shí)，f（n）有最大值？

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若數(shù)列{A_n}滿足，則稱數(shù)列{A_n}為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=2x²+2x的圖象上，其中n為正整數(shù)．
（Ⅰ）證明數(shù)列{2a_n+1}是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列{lg（2a_n+1）}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)（1）中“平方遞推數(shù)列”的前n項(xiàng)之積為T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)及T_n關(guān)于n的表達(dá)式；
（Ⅲ）記，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

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設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且a_n是S_n和2的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)1≤i≤j≤n（i，j，n均為正整數(shù)）時(shí)，求a_i和a_j的所有可能的乘積a_ia_j之和T_n；
（3）設(shè)，求證：．

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選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

B

A

A

A

B

C

D

C

A

填空題

11.     12.   13.-18   14.(2,3)     15.①②⑤

16. 解(1)由題意得, ………2分 ； 從而, ………4分

又,所以   ………………………………………6分

(2)由(1)得………………………8分

因?yàn)?sub>,所以,所以當(dāng)時(shí),取得最小值為1…10分

且的單調(diào)遞減區(qū)間為          ………………………………12分

17.　令設(shè)的值域?yàn)镸.

�。á瘢┊�(dāng)的定義域?yàn)镽，有.

　　　　故　　　　…………………………6分

（Ⅱ）當(dāng)的值域?yàn)镽，有

　　　故　或

　　　∴　　　………………………………………………12分

18. 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則E（30，0），F(xiàn)（0，20）。

  ∴線段的方程是………3分

　 在線段上取點(diǎn)，作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，PR⊥CD于點(diǎn)R，

設(shè)矩形PQCR的面積為s，則s＝|PQ|?|PR|＝（100－）（80－）.…………6分

又∵　，∴，

∴。……10分

∴當(dāng)＝5m時(shí)，s有最大值，此時(shí).

故當(dāng)矩形廣場的兩邊在BC、CD上，一個(gè)頂點(diǎn)在線段EF上，

且這個(gè)頂點(diǎn)分EF成5：1時(shí)，廣場的面積最大。　　　　　　　　…………12分

19.解: (1) 由題知:  , 解得 , 故. ………2分

(2)  , 

,

, 

又滿足上式.   所以……………7分

(3) 若是與的等差中項(xiàng), 則,

從而,    得. 

因?yàn)?sub>是的減函數(shù), 所以

當(dāng), 即時(shí), 隨的增大而減小, 此時(shí)最小值為;

當(dāng), 即時(shí), 隨的增大而增大, 此時(shí)最小值為. 

又, 所以,

即數(shù)列中最小, 且.   …………12分

20.解：（1）三個(gè)函數(shù)的最小值依次為，，

由，得 

∴

，

故方程的兩根是，．

故，． ，即

∴  ．………………6分

（2）①依題意是方程的根，

故有，，

且△，得．

由……………9分

 ；得，，．

由（1）知，故，

∴  ，

∴  ．………………………13分

21.（Ⅰ）設(shè)AB：x=my+2,  A(x₁,y₁) ,B(x₂,y₂)

     將x=my+2代入，消x整理，得：

     （m²+2）y²+4my-4=0

    而=

     ==

 取“=”時(shí)，顯然m=0,此時(shí)AB：x=2……………………6分

(Ⅱ）(?)顯然是橢圓的右焦點(diǎn)，離心率

         且

         作  點(diǎn)A在橢圓上

      ……………10分

(?)同理 ,由

有  =2

解得：=，故

 所以直線AB: y=(x-2)

即直線AB的方程為………14分