數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足3Sn=4014+an(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)f(n)表示該數(shù)列的前n項(xiàng)的積,n取何值時(shí),f(n)有最大值?
【答案】
分析:(1)n=1,求a
1,n≥2,求得
,數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式可求;
(2)由題意可求得
,
,
,分
與
討論n的取值情況,并對(duì)
f(9)、f(10)、f(11)、f(12)逐項(xiàng)判斷其正負(fù)后比較其大。
解答:解:(1)∵n=1時(shí),3a
1=4014+a
1,得a
1=2007n≥2時(shí),3S
n=4014+a
n,3S
n-1=4014+a
n-1,
兩式相減得:3a
n=a
n-a
n-1即:
∴數(shù)列{a
n}為首項(xiàng)a
1=2007,公比為
的等比數(shù)列,∴
.
(2)∵
=
,
∴
∴當(dāng)n≤10時(shí),
,當(dāng)n>10時(shí),
.
∴|f(1)|<|f(x)|<…<|f(10)|,|f(11)|>|f(12)|>|f(13)|>…
又∵
,
,
(或從f(11)共6正5負(fù)相乘,f(10)共5正5負(fù)相乘,f(9)共5正4負(fù)相乘,f(12)共6正6負(fù)相乘也可判斷符號(hào))
∴只需比較f(9)與f(12)的大小,就可以確定f(n)的最大值,
又∵
,∴f(12)>f(9),
綜上:n=12時(shí),f(n)有最大值.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列遞推公式,難點(diǎn)在于得到當(dāng)n≤10時(shí),
,當(dāng)n>10時(shí),
,需要對(duì)f(9)、f(10)、f(11)、f(12)逐項(xiàng)判斷其正負(fù),并在同正條件下作商比較,屬于難題.