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（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)f (x) =(b，c∈N^*)，若方程f(x) = x的解為0，2，且f (–2)＜–．（Ⅰ）試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列{a_n}滿足4S_n·f () = 1，其中S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和．求證：．

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二次函數(shù)f(x)=ac²+bx+c(a、b、c∈Z)的圖像按向量n=(-1，0)平移后關(guān)于y軸對稱，方程f(x)-x=0的兩根為α、β，且α∈(0，2)，β∈(2，4)，β-α=．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)設(shè)g(x)=x³-3x²-6x+m，若存在常數(shù)k，使得函數(shù)g(x)、f(x)在區(qū)間[-2，2]上的圖像分別在直線y=k的上方和下方，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

A

C

B

D

C

C

A

4．【解析】{a_n}為等差數(shù)列，則{}也為等差數(shù)列且其公差d = 1,

∴，∴=．

5．【解析】圓方程可化為，則圓心到直線的距離，當(dāng)1＜d＜3時(shí)，則圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，＜|c|＜，故選D.

6．【解析】y = f(x)是奇函數(shù)，由f(x)＞f (?x) + x得f(x)＞，數(shù)形結(jié)合．

7．【解析】設(shè)l過原點(diǎn)，取線段AB的中點(diǎn)M(?1，)，則OM⊥l，∴k_l =．

8．【解析】∵f(x)是偶函數(shù)且f(x)在[0，+∞)是增函數(shù)

∴|ax + 1|≤|x ?2|恒成立，x∈[，1]．

∴x ? 2≤ax + 1≤2 ? x

即．

二、填空題

9．【解析】，令有r = 2，∴．

10．【解析】= 1440．

11．       【解析】求出交點(diǎn)代入求出k并驗(yàn)證得k = ?9．

12．【解析】易求：拋物線焦點(diǎn)F(4，0)，準(zhǔn)線L：x = ? 4．橢圓焦點(diǎn)F(4，0)、 F′(4，4)，如圖所示．

所以F為兩曲線之公共焦點(diǎn)．

設(shè)兩曲線交于點(diǎn)A，則

所以當(dāng)H、A、F′共線時(shí)，2a有最小值，從而a也達(dá)到最小，此時(shí)，y_A = y_F = 4，代入y² = 16x 得x_A = 1，再以A(1，4)代入橢圓得：a² = 16，從而a = 4．

13．【解析】①在平面A′FA內(nèi)過點(diǎn)A′作A′H⊥AF，垂足為H，由DE⊥AF，DE⊥A′G知DE⊥平面A′GA．故DE⊥A′H，∴A′H⊥平面ABC，即A′在平面ABC上的射影在線段AF上．

②由①得；

③由①知：當(dāng)A′H與A′G重合時(shí)，三棱錐A′―FED的體積有最大值；

④用反證法：假設(shè)A′E與BD垂直，由①知A′H⊥BD，∴BD⊥面A′HE，EH⊥BD．

∴當(dāng)EH⊥BD時(shí)，可證A′E⊥BD．

故①②③正確．

14．【解析】當(dāng)n≤x＜n + 1(n∈Z)時(shí)，y = f(x) = x ? n，

顯然有0≤x ? n＜1，即0≤y＜1，

也有f(x+ 1) }= x + 1 ? [x + 1] = x + 1? ([x] + 1) = x ? [x] = f(x)．如圖．

    答案為：［0，1）；1

15．【解析】（i）20；

（ii）將粒子的運(yùn)動軌跡定義為數(shù)對（i，j）

則它的運(yùn)動整點(diǎn)可排成數(shù)表

（0，0）

（0，1） （1，1） （1，0）

（0，0） （2，1） （2，2） （1，2） （0，2）

（0，3） （1，3） （2，3） （3，3） （3，2） （3，1） （3，0）

（4，0） （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （3，4） （2，4） （1，4）（0，4）

通過推并可知：經(jīng)過2 = 1×2s，運(yùn)動到（1，1）

經(jīng)過6 =2×3s，運(yùn)動到（2，2）

經(jīng)過12 =3×4s，運(yùn)動到（3，3）

∴經(jīng)過44×45 = 1980s，運(yùn)動到（44，44）

       再繼續(xù)運(yùn)動29s，到達(dá)點(diǎn)（15，44）．

三、解答題

16．【解析】（1）= 0，1，2，4．                                            （1分）

P(= 4) =

P(= 2) =

P(= 1) =

P(= 0) = 1?P(= 1) ?P(= 2) ?P(= 4) =                              （7分）

∴的分布列為

0

1

2

4

P

                                                                    （9分）

∴E=，

D= (0 ? 1)²×+ (1 ? 1)²×+(2 ? 1)²×+(4 ? 1)²×= 1               （12分）

17．【解析】（Ⅰ）∵，∴= 0，               （2分）

∴，                                    （4分）

又∵∈R，∴時(shí)，m_min = ?2.

又，所以                                             （6分）

（Ⅱ）∵，且,∴                           （8分）

∴

∴                          （10分）

                                              （12分）

18．【解析】（Ⅰ）∵AB = 3，BC = 4，∴AC = 5

∵AC² = AB² + BC²

∴AB⊥BC

又AB⊥BB₁

且BC∩BB₁ = B

∴AB⊥面BCC₁B₁                                                     （4分）

（Ⅱ）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系

則A(3，0，0)，P(0，0，3)，Q(0，4，4)

設(shè)面APQ的法向量為= (x，y，z)

= (1，?1，1)

而面ABC的法向量可以取= (0，0，1)

∴

∴面PQA與面ABC所成的銳二面角為arccos．                        （8分）

（Ⅲ）∵BP = AB = 3，CQ = AC = 7．

∴S_{四邊形BCQP} =

∴V_A―BCQP =×20×3 = 20

又∵V=．

∴．                                             （12分）

19．【解析】（Ⅰ）（）．　　　�。�2分）

（Ⅱ）設(shè)第n區(qū)內(nèi)的面積為b_n平方米，

則 ．　　　　　　　　　　　　　�。�4分）

則第n區(qū)內(nèi)火山灰的總重量為

（噸）（萬噸）　　�。�6分）

設(shè)第n區(qū)火山灰總重量最大，則

解得   ∴n =50.

即得第50區(qū)火山灰的總重量最大.                                           （9分）

（Ⅲ）設(shè)火山噴發(fā)的火山區(qū)灰總重量為S萬噸，

則

設(shè)

則   ①

∴ ②

①－②得

∴                               （12分）

∵0＜q＜1，∴（萬噸）

因此該火山這次噴發(fā)出的火山灰的總重量約為3712萬噸．                     （13分）

20．【解析】（Ⅰ）因?yàn)閳AO的方程為x² + y² = 2，所以d =，

可得b² = 2(k² + 1)(k≠±1)．                                           （4分）

（Ⅱ）設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

由，

所以，                                                 （7分）

所以=

=，

因?yàn)閨AB| =×=，

O到AB的距離，                                         （11分）

  所以

=∈．                                    （13分）

21．（Ⅰ）【解析】

．               　　　　�。�2分）

由f (?2) =

又∵b，c∈N^*    ∴c = 2，b = 2

∴f (x) =．                                                （4分）

令f′(x)＞0得：x＜0或x＞2

令f′(x)＜0得：0＜x＜2

∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（?∞，0），（2，+∞）

f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），（1，2）．                                 （6分）

（Ⅱ）證明：由已知可得：2S_n = a_n ? ，

兩式相減得：(a_n + a_{n ? 1}) (a_n ? a_{n ? 1}+1) = 0 （n≥2）

∴a_n = ?a_{n ?1}或a_n ?a_n?1 = ?1                                             （7分）

當(dāng)n =1 時(shí)，2a₁ = a₁ ?

若a_n = ?a_n?1，則a₂ = ?a₁ = 1與a_n≠1矛盾．

（定義域要求a_n≠1）

∴a_n ? a_n?1 = 1，∴a_n = ?n．                                             （8分）

要證的不等式轉(zhuǎn)化為

先證不等式

令g (x) = x ?ln(1 + x)，h(x) = ln(x +1) ?                                （10分）

則g′(x) =，h′(x) =

∵x＞0   ∴g′(x)＞0，h′(x)＞0

∴g (x)， h(x)在（0，+∞）上

∴g (x)＞g (0) = 0，h(x)＞h(0) = 0                                        （12分）

∴

故，即．                         （13分）