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    題目列表(包括答案和解析)

    (本小題滿分14分)

    已知函數(shù)。

    (1)證明:

    (2)若數(shù)列的通項公式為,求數(shù)列 的前項和;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

    (3)設(shè)數(shù)列滿足:,設(shè),

    若(2)中的滿足對任意不小于2的正整數(shù)恒成立,

    試求的最大值。

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    (本小題滿分14分)已知,點(diǎn)軸上,點(diǎn)軸的正半軸,點(diǎn)在直線上,且滿足,. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

    (Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)軸上移動時,求動點(diǎn)的軌跡方程;

    (Ⅱ)過的直線與軌跡交于、兩點(diǎn),又過、作軌跡的切線,當(dāng),求直線的方程.

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    (本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)

     (1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

     (2)若當(dāng)時,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

     (3)若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰好有兩個相異的實(shí)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍。

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    (本小題滿分14分)

    已知,其中是自然常數(shù),

    (1)討論時, 的單調(diào)性、極值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

    (2)求證:在(1)的條件下,;

    (3)是否存在實(shí)數(shù),使的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,說明理由.

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    (本小題滿分14分)

    設(shè)數(shù)列的前項和為,對任意的正整數(shù),都有成立,記。

    (I)求數(shù)列的通項公式;

    (II)記,設(shè)數(shù)列的前項和為,求證:對任意正整數(shù)都有;

    (III)設(shè)數(shù)列的前項和為。已知正實(shí)數(shù)滿足:對任意正整數(shù)恒成立,求的最小值。

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    一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)

    1.A     2.D     3.D     4.C     5.C    6.B    7.C    8.A

    二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)

    9.                  10.60                   11.   

    12.(1) (2)               13.1,                  14.,

    注:兩個空的填空題第一個空填對得2分,第二個空填對得3分.

    三、解答題(本大題共6小題,共80分)

    15.(本小題滿分13分)

    解:(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列的公比為,依題意有,    (1)

    ,將(1)代入得.所以.

    于是有                             ………………3分

    解得                             ………………6分

    是遞增的,故.                   ………………7分

    所以.                                         ………………8分

       (Ⅱ),.                     ………………10分

    故由題意可得,解得.又, …………….12分

    所以滿足條件的的最小值為13.                           ………………13分

    16. (本小題滿分13分)

    解:(Ⅰ)由,

       所以.                     …………………4分

       于是. …………7分

      

    (Ⅱ)由正弦定理可得,

         所以.                                …………………….10分

    .         ………………11分

    ,

    解得.即=7 .                                           …………13分

    17.(本小題滿分14分)

    解法一:(Ⅰ)∵正方形,∴

    又二面角是直二面角,

    ⊥平面.

    平面,

    .

    ,,是矩形,的中點(diǎn),

    =,=,

    =

    ⊥平面,

    平面,故平面⊥平面          ……………………5分

     (Ⅱ)如圖,由(Ⅰ)知平面⊥平面,且交于,在平面內(nèi)作,垂足為,則⊥平面.

            ∴∠與平面所成的角.                ……………………7分

    ∴在Rt△中,=.  

     .  

    與平面所成的角為 .                 ………………………9分

       (Ⅲ)由(Ⅱ),⊥平面.作,垂足為,連結(jié),則,

            ∴∠為二面角的平面角.             ……………………….11分

    ∵在Rt△中,=,在Rt△中, .

    ∴在Rt△中,     ………13分

    即二面角的大小為arcsin.          ………………………………14分

     

    解法二:

    如圖,以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,

    (0,0,0),(0,2,0),

    (0,2,2),,,0),

    ,0,0).

       (Ⅰ) =(,,0),=(,,0),

             =(0,0,2),

    ?=(,,0)?(,,0)=0,

     ? =(,,0)?(0,0,2)= 0.

    ,

    ⊥平面,又平面,故平面⊥平面. ……5分

       (Ⅱ)設(shè)與平面所成角為.

            由題意可得=(,,0),=(0,2,2 ),=(,,0).

            設(shè)平面的一個法向量為=(,,1),

            由.

              .

    與平面所成角的大小為.            ……………..9分

       (Ⅲ)因=(1,-1,1)是平面的一個法向量,

            又⊥平面,平面的一個法向量=(,0,0),

            ∴設(shè)的夾角為,得,

            ∴二面角的大小為.      ………………………………14分

    18. (本小題滿分13分)

    解:(Ⅰ)設(shè)事件表示甲運(yùn)動員射擊一次,恰好擊中9環(huán)以上(含9環(huán)),則

    .                            ……………….3分

    甲運(yùn)動員射擊3次均未擊中9環(huán)以上的概率為

    .                            …………………5分

    所以甲運(yùn)動員射擊3次,至少有1次擊中9環(huán)以上的概率為

    .                               ………………6分

        (Ⅱ)記乙運(yùn)動員射擊1次,擊中9環(huán)以上為事件,則

                            …………………8分

    由已知的可能取值是0,1,2.                       …………………9分

    ;

    ;

    .

    的分布列為

    0

    1

    2

    0.05

    0.35

    0.6

                                                   ………………………12分

    所以

    故所求數(shù)學(xué)期望為.                          ………………………13分

    19. (本小題滿分14分)

    解:(Ⅰ)由已知 ,故,所以直線的方程為.

          將圓心代入方程易知過圓心 .      …………………………3分

            (Ⅱ) 當(dāng)直線軸垂直時,易知符合題意;        ………………4分

    當(dāng)直線與軸不垂直時,設(shè)直線的方程為,由于,

    所以,解得.

    故直線的方程為.        ………………8分

            (Ⅲ)當(dāng)軸垂直時,易得,,又

    ,故. 即.                   ………………10分

    當(dāng)的斜率存在時,設(shè)直線的方程為,代入圓的方程得

    .則

    ,即,

    .又由,

    .

    .

    綜上,的值為定值,且.                …………14分

    另解一:連結(jié),延長交于點(diǎn),由(Ⅰ)知.又,

    故△∽△.于是有.


    同步練習(xí)冊答案