Question

（本小題滿分14分）

設(shè)數(shù)列的前項和為，對任意的正整數(shù)，都有成立，記。

（I）求數(shù)列的通項公式；

（II）記，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：對任意正整數(shù)都有；

（III）設(shè)數(shù)列的前項和為。已知正實數(shù)滿足：對任意正整數(shù)恒成立，求的最小值。

Answer 1

解析：（Ⅰ）當時，

又

數(shù)列成等比數(shù)列，其首項，公比是

……………………………………..3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

   =

 又

當

當

                    

（Ⅲ）由（Ⅰ）知

一方面，已知恒成立，取n為大于1的奇數(shù)時，設(shè)

則

    

    

     >

對一切大于1的奇數(shù)n恒成立

只對滿足的正奇數(shù)n成立，矛盾。

另一方面，當時，對一切的正整數(shù)n都有

事實上，對任意的正整數(shù)k，有

         

         

當n為偶數(shù)時，設(shè)

則

     <      

當n為奇數(shù)時，設(shè)

則

<

對一切的正整數(shù)n，都有

綜上所述，正實數(shù)的最小值為4………………………….14分