如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）證明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）設(shè)E為棱PA上的點(diǎn)，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長(zhǎng).

【解析】解法一：如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

（1）證明：易得，于是,所以

(2) ,設(shè)平面PCD的法向量，

則,即.不防設(shè)，可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

（3）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,0，h），其中，由此得.

由，故 

所以，，解得，即.

解法二：（1）證明：由，可得，又由,,故.又,所以.

(2)如圖，作于點(diǎn)H，連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

因此所以二面角的正弦值為.

（3）如圖，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118431693242163_ST.files/image044.png">，故過(guò)點(diǎn)B作CD的平行線必與線段AD相交，設(shè)交點(diǎn)為F，連接BE，EF. 故或其補(bǔ)角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

在中，由,,

可得.由余弦定理，,

所以.

（本小題滿分14分）

　　已知：函數(shù)（），．

　　（1）若函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線距離的最小值為，求的值；

　�。�2）關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

　�。�3）對(duì)于函數(shù)與定義域上的任意實(shí)數(shù)，若存在常數(shù)，使得不等式和都成立，則稱直線為函數(shù)與的“分界線”。設(shè)，，試探究與是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（1）已知函數(shù)f（x）=-x²+4（x∈（-1，2）），P、Q是f（x）圖象上的任意兩點(diǎn)．
①試求直線PQ的斜率k_PQ的取值范圍；
②求f（x）圖象上任一點(diǎn)切線的斜率k的范圍；
（2）由（1）你能得出什么結(jié)論？（只須寫出結(jié)論，不必證明），試運(yùn)用這個(gè)結(jié)論解答下面的問(wèn)題：已知集合M_D是滿足下列性質(zhì)函數(shù)f（x）的全體：若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，對(duì)任意的x₁，x₂∈D，（x₁≠x₂）有|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|．
①當(dāng)D=（0，1）時(shí)，f（x）=lnx是否屬于M_D，若屬于M_D，給予證明，否則說(shuō)明理由；
②當(dāng)，函數(shù)f（x）=x³+ax+b時(shí)，若f（x）∈M_D，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．