（07年北京卷理）（本小題共13分）

如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為，短半軸長為，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，記，梯形面積為．

（I）求面積以為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；

（II）求面積的最大值．

（07年北京卷）（本小題共13分）

數(shù)列中，，（是常數(shù)，），且成公比不為的等比數(shù)列．

（I）求的值；

（II）求的通項公式．

（07年北京卷理）（本小題共13分）

某中學(xué)號召學(xué)生在今年春節(jié)期間至少參加一次社會公益活動（以下簡稱活動）．該校合唱團共有100名學(xué)生，他們參加活動的次數(shù)統(tǒng)計如圖所示．

（I）求合唱團學(xué)生參加活動的人均次數(shù)；

（II）從合唱團中任意選兩名學(xué)生，求他們參加活動次數(shù)恰好相等的概率．

（III）從合唱團中任選兩名學(xué)生，用表示這兩人參加活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．

（08年北京卷理）（本小題共13分）

對于每項均是正整數(shù)的數(shù)列，定義變換，將數(shù)列變換成數(shù)列

．

對于每項均是非負整數(shù)的數(shù)列，定義變換，將數(shù)列各項從大到小排列，然后去掉所有為零的項，得到數(shù)列；又定義

．

設(shè)是每項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，令．

（Ⅰ）如果數(shù)列為5，3，2，寫出數(shù)列；

（Ⅱ）對于每項均是正整數(shù)的有窮數(shù)列，證明；

（Ⅲ）證明：對于任意給定的每項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，存在正整數(shù)，當時，．

（08年北京卷文）（本小題共13分）

甲、乙等五名奧運志愿者被隨機地分到四個不同的崗位服務(wù)，每個崗位至少有一名志愿者．

（Ⅰ）求甲、乙兩人同時參加崗位服務(wù)的概率；

（Ⅱ）求甲、乙兩人不在同一個崗位服務(wù)的概率．