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由題意得:.即. 3分【查看更多】

如圖，，，…，，…是曲線上的點(diǎn)，，，…，，…是軸正半軸上的點(diǎn)，且，，…，，… 均為斜邊在軸上的等腰直角三角形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

（1）寫出、和之間的等量關(guān)系，以及、和之間的等量關(guān)系；

（2）求證：（）；

（3）設(shè)，對所有，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【解析】第一問利用有，得到

第二問證明：①當(dāng)時(shí)，可求得，命題成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即有則當(dāng)時(shí)，由歸納假設(shè)及，

得

第三問

．………………………2分

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，最大為，即

解：（1）依題意，有，，………………4分

（2）證明：①當(dāng)時(shí)，可求得，命題成立； ……………2分

②假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即有，……………………1分

則當(dāng)時(shí)，由歸納假設(shè)及，

得．

即

解得（不合題意，舍去）

即當(dāng)時(shí)，命題成立． …………………………………………4分

綜上所述，對所有，． ……………………………1分

（3）

．………………………2分

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，最大為，即

．……………2分

由題意，有．所以，

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設(shè)點(diǎn)

是拋物線

的焦點(diǎn)，

是拋物線

上的

個(gè)不同的點(diǎn)（

）.
（1）當(dāng)

時(shí)，試寫出拋物線

上的三個(gè)定點(diǎn)

、

的坐標(biāo)，從而使得

；
（2）當(dāng)

時(shí)，若

，
求證：

；
（3）當(dāng)

時(shí)，某同學(xué)對（2）的逆命題，即：
“若

，則

.”
開展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.
請你就此從以下三個(gè)研究方向中任選一個(gè)開展研究：
① 試構(gòu)造一個(gè)說明該逆命題確實(shí)是假命題的反例（本研究方向最高得4分）；
② 對任意給定的大于3的正整數(shù)

，試構(gòu)造該假命題反例的一般形式，并說明你的理由（本研究方向最高得8分）；
③ 如果補(bǔ)充一個(gè)條件后能使該逆命題為真，請寫出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個(gè)條件，并說明加上該條件后，能使該逆命題為真命題的理由（本研究方向最高得10分）.
【評分說明】本小題若填空不止一個(gè)研究方向，則以實(shí)得分最高的一個(gè)研究方向的得分作為本小題的最終得分.

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已知函數(shù)，