求函數(shù)f(x)=的不連續(xù)點(diǎn)和連續(xù)區(qū)間. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)f(x)=mx3+nx2(m、n∈R ,m≠0)的圖像在（2，f(2)）處的切線與x軸平行.

（1）求n,m的關(guān)系式并求f(x)的單調(diào)減區(qū)間；

（2）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)0<x1<x2<1, 關(guān)于x的方程：

在（x1,x2）恒有實(shí)數(shù)解

（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，其實(shí)我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)f(x)是在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間(a,b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x0，使得.如我們所學(xué)過(guò)的指、對(duì)數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理?xiàng)l件.試用拉格朗日中值定理證明：

當(dāng)0<a<b時(shí)，（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性）

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已知函數(shù)f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的圖象在（2，f（2））處的切線與x軸平行．
（1）求n，m的關(guān)系式并求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)0＜x1＜x2＜1，關(guān)于x的方程：f′(x)-
f(x2)-f(x1)
x2-x1
=0在（x1，x2）恒有實(shí)數(shù)解
（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，其實(shí)我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)f（x）是在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間（a，b）內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)x0，使得f′(x0)=
f(b)-f(a)
b-a
．如我們所學(xué)過(guò)的指、對(duì)數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理?xiàng)l件．試用拉格朗日中值定理證明：
當(dāng)0＜a＜b時(shí)，
b-a
b
＜ln
b
a
＜
b-a
a
（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性）．

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精英家教網(wǎng)已知f(x)=
2
3
x3-2x2+cx+4，g（x）=ex-e2-x+f（x），
（1）若f（x）在x=1+
2
處取得極值，試求c的值和f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）如圖所示，若函數(shù)y=f（x）的圖象在[a，b]連續(xù)光滑，試猜想拉格朗日中值定理：即一定存在c∈（a，b），使得f′(c)=
f(b)-f(a)
b-a
，利用這條性質(zhì)證明：函數(shù)y=g（x）圖象上任意兩點(diǎn)的連線斜率不小于2e-4．

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已知f(x)=x3-2x2+cx+4，g(x)=ex-e2-x+f(x)，
(1)若f(x)在x=1+處取得極值，試求c的值和f(x)的單調(diào)增區(qū)間；
(2)如下圖所示，若函數(shù)y=f(x)的圖象在[a，b]上連續(xù)光滑，試猜想拉格朗日中值定理：即一定存在c∈(a，b)使得f′(c)=？[用含有a，b，f(a)，f(b)的表達(dá)方式直接回答，不需要寫(xiě)猜想過(guò)程]
(3)利用(2)證明：函數(shù)y=g(x)圖象上任意兩點(diǎn)的連線斜率不小于2e-4。

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定義：兩個(gè)連續(xù)函數(shù)（圖象不間斷）f（x）、g（x）在區(qū)間[a，b]上都有意義，則稱函數(shù)|f（x）+g（x）|在[a，b]上的最大值叫做函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間[a，b]上的“絕對(duì)和”．已知函數(shù)f（x）=x3，g（x）=x3-3ax2+2．
（Ⅰ）若函數(shù)y=g（x）在點(diǎn)P（1，g（1））處的切線與直線y=x+2平行，求a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下求漢順f（x）與g（x）在區(qū)間[0，2]上的“絕對(duì)值”
（Ⅲ）記f（x）與g（x）在區(qū)間[0，2]上的“絕對(duì)和”為h(a)，a＞
32
，且h（a）=2，試求a的取值范圍．

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難點(diǎn)磁場(chǎng)

解：(1)6ec8aac122bd4f6ef(x)=3, 6ec8aac122bd4f6ef(x)=－1,所以6ec8aac122bd4f6ef(x)不存在，所以f(x)在x=－1處不連續(xù)，

但6ec8aac122bd4f6ef(x)=f(－1)=－1, 6ec8aac122bd4f6ef(x)≠f(－1),所以f(x)在x=－1處右連續(xù)，左不連續(xù)

6ec8aac122bd4f6ef(x)=3=f(1), 6ec8aac122bd4f6ef(x)不存在，所以6ec8aac122bd4f6ef(x)不存在，所以f(x)在x=1不連續(xù)，但左連續(xù)，右不連續(xù).

又6ec8aac122bd4f6ef(x)=f(0)=0,所以f(x)在x=0處連續(xù).

(2)f(x)中，區(qū)間(－∞,－1),［－1,1］,(1,5］上的三個(gè)函數(shù)都是初等函數(shù)，因此f(x)除不連續(xù)點(diǎn)x=±1外，再也無(wú)不連續(xù)點(diǎn)，所以f(x)的連續(xù)區(qū)間是(－∞,－1),［－1,1］和(1,56ec8aac122bd4f6e.

殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析：6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

答案：A

2.解析：6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

即f(x)在x=1點(diǎn)不連續(xù)，顯知f(x)在(0,1)和(1,2)連續(xù).

答案：C

二、3.解析：利用函數(shù)的連續(xù)性，即6ec8aac122bd4f6e,

6ec8aac122bd4f6e

答案：6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

答案：6ec8aac122bd4f6e

三、5.解：f(x)=6ec8aac122bd4f6e

(1) 6ec8aac122bd4f6ef(x)=－1, 6ec8aac122bd4f6ef(x)=1,所以6ec8aac122bd4f6ef(x)不存在，故f(x)在x=0處不連續(xù).

(2)f(x)在(－∞,+∞)上除x=0外，再無(wú)間斷點(diǎn)，由(1)知f(x)在x=0處右連續(xù)，所以f(x)在［

－1，0］上是不連續(xù)函數(shù)，在［0,1］上是連續(xù)函數(shù).

6.解：(1)f(－x)=6ec8aac122bd4f6e

(2)要使f(x)在(－∞,+∞)內(nèi)處處連續(xù)，只要f(x)在x=0連續(xù)，6ec8aac122bd4f6ef(x)

= 6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e=6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6ef(x)=6ec8aac122bd4f6e(a+bx)=a,因?yàn)橐?i>f(x)在x=0處連續(xù)，只要6ec8aac122bd4f6e f(x)= 6ec8aac122bd4f6ef(x)

= 6ec8aac122bd4f6ef(x)=f(0),所以a=6ec8aac122bd4f6e

7.證明：設(shè)f(x)=a0x3+a1x2+a2x+a3,函數(shù)f(x)在(－∞,+∞)連續(xù)，且x→+∞時(shí)，f(x)→+∞;x→－∞時(shí)，f(x)→－∞,所以必存在a∈(－∞,+∞),b∈(－∞,?+∞),使f(a)?f(b)＜0,所以f(x)的圖象至少在(a,b)上穿過(guò)x軸一次，即f(x)=0至少有一實(shí)根.

8.解：不連續(xù)點(diǎn)是x=1,連續(xù)區(qū)間是(－∞,1),(1,+∞)

 

 


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