Question

已知函數(shù)f（x）=mx³+nx²（m、n∈R，m≠0）的圖象在（2，f（2））處的切線與x軸平行．
（1）求n，m的關(guān)系式并求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）證明：對任意實(shí)數(shù)0＜x₁＜x₂＜1，關(guān)于x的方程：f′(x)-

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=0在（x₁，x₂）恒有實(shí)數(shù)解
（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，其實(shí)我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)f（x）是在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間（a，b）內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)x₀，使得f′(x0)=

f(b)-f(a)

b-a

．如我們所學(xué)過的指、對數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理?xiàng)l件．試用拉格朗日中值定理證明：
當(dāng)0＜a＜b時(shí)，

b-a

b

＜ln

b

a

＜

b-a

a

（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性）．

Answer 1

分析：（1）先對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，又根據(jù)f'（2）=0可得到關(guān)于m的代數(shù)式．再將m的代數(shù)式n代入函數(shù)f（x）中消去n，可得f'（x）=3mx²-6mx，當(dāng)f'（x）＞0時(shí)x的取值區(qū)間為所求．
（2）由于

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=m（x₁²+x₂²+x₁x₂-3x₁-3x₂）從而f′(x)-

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=0，可化為3x²-6x-x₁²-x₂²-x₁x₂+3x₁+3x₂=0，令h（x）=3x²-6x-x₁²-x₂²-x₁x₂+3x₁+3x₂，計(jì)算則h（x₁）h（x₂）＜0，根據(jù)零點(diǎn)存在定理得h（x）=0在區(qū)間（x₁，x₂）內(nèi)必有解，從而得到證明；
（3）令g（x）=lnx，x∈（a，b），則g（x）符合拉格朗日中值定理的條件，即存在x₀∈（a，b），使g′(x0)=

g(b)-g(a)

b-a

=

lnb-lna

b-a

，由于函數(shù)g′（x）=

1

x

的性質(zhì)即可證得結(jié)果．

解答：解：（1）因?yàn)閒'（x）=3mx²+2nx，------（1分）
由已知有f'（2）=0，所以3m+n=0即n=-3m------（2分）
即f'（x）=3mx²-6mx，由f'（x）＞0知mx（x-2）＞0．
當(dāng)m＞0時(shí)得x＜0或x＞2，f（x）的減區(qū)間為（0，2）；-----（3分）
當(dāng)m＜0時(shí)得：0＜x＜2，f（x）的減區(qū)間為（-∞，0）和（2，+∞）；-----（4分）
綜上所述：當(dāng)m＞0時(shí)，f（x）的減區(qū)間為（0，2）；
當(dāng)m＜0時(shí)，f（x）的減區(qū)間為（-∞，0）和（2，+∞）；-----（5分）
（2）∵

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=m（x₁²+x₂²+x₁x₂-3x₁-3x₂），------------（6分）
∴f′(x)-

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=0，
可化為3x²-6x-x₁²-x₂²-x₁x₂+3x₁+3x₂=0，令h（x）=3x²-6x-x₁²-x₂²-x₁x₂+3x₁+3x₂-------（7分）
則h（x₁）=（x₁-x_2）（2x₁+x₂-3），h（x₂）=（x₂-x₁）（x₁+2x₂-3），
即h（x₁）h（x₂）=-（x₁-x₂）²（2x₁+x₂-3）（x₁+2x₂-3）又因?yàn)?＜x₁＜x₂＜1，所以（2x₁+x₂-3）＜0，（x₁+2x₂-3）＜0，即h（x₁）h（x₂）＜0，-----------（8分）
故h（x）=0在區(qū)間（x₁，x₂）內(nèi)必有解，
即關(guān)于x的方程f′(x)-

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=0在（x₁，x₂）恒有實(shí)數(shù)解-----（9分）
（3）令g（x）=lnx，x∈（a，b），-----------（10分）
則g（x）符合拉格朗日中值定理的條件，即存在x₀∈（a，b），
使g′(x0)=

g(b)-g(a)

b-a

=

lnb-lna

b-a

-----------（11分）
因?yàn)間′（x）=

1

x

，由x∈（a，b），0＜a＜b可知g′（x）∈（

1

b

，

1

a

），b-a＞0-----（12分）
即

1

b

 ＜g′(x0)=

g(b)-g(a)

b-a

=

lnb-lna

b-a

=

ln b a

b-a

＜

1

a

，
∴

b-a

b

＜ln

b

a

＜

b-a

a

-----（14分）

點(diǎn)評：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、不等式的解法\拉格朗日中值定理等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．