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已知橢圓=1，點P為其上一點，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的焦點，Q為射線F₁P延長線上一點，且|PQ|=|PF₂|，設(shè)R為F₂Q的中點．
（1）當(dāng)P點在橢圓上運動時，求R形成的軌跡方程；
（2）設(shè)點R形成的曲線為C，直線l：y=k（x+4）與曲線C相交于A、B兩點，若∠AOB=90°時，求k的值．

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已知橢圓

x2

16

+

y2

12

=1，點P為其上一點，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的焦點，Q為射線F₁P延長線上一點，且|PQ|=|PF₂|，設(shè)R為F₂Q的中點．
（1）當(dāng)P點在橢圓上運動時，求R形成的軌跡方程；
（2）設(shè)點R形成的曲線為C，直線l：y=k（x+4

2

）與曲線C相交于A、B兩點，若∠AOB=90°時，求k的值．

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已知橢圓

x2

16

+

y2

12

=1，點P為其上一點，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的焦點，Q為射線F₁P延長線上一點，且|PQ|=|PF₂|，設(shè)R為F₂Q的中點．
（1）當(dāng)P點在橢圓上運動時，求R形成的軌跡方程；
（2）設(shè)點R形成的曲線為C，直線l：y=k（x+4

2

）與曲線C相交于A、B兩點，若∠AOB=90°時，求k的值．

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難點磁場

解：建立坐標(biāo)系如圖所示，

設(shè)|AB|=2a,則A(－a,0）,B(a,0).

設(shè)M(x,y）是軌跡上任意一點.

則由題設(shè)，得=λ,坐標(biāo)代入，得=λ,化簡得

(1－λ²)x²+(1－λ²)y²+2a(1+λ²)x+(1－λ²)a²=0

(1)當(dāng)λ=1時，即|MA|=|MB|時，點M的軌跡方程是x=0，點M的軌跡是直線(y軸).

(2)當(dāng)λ≠1時，點M的軌跡方程是x²+y²+x+a²=0.點M的軌跡是以

(－，0）為圓心，為半徑的圓.

殲滅難點訓(xùn)練

一、1.解析：∵|PF₁|+|PF₂|=2a,|PQ|=|PF₂|,

∴|PF₁|+|PF₂|=|PF₁|+|PQ|=2a,

即|F₁Q|=2a,∴動點Q到定點F₁的距離等于定長2a,故動點Q的軌跡是圓.

答案：A

2.解析：設(shè)交點P(x,y）,A₁(－3,0),A₂(3,0),P₁(x₀,y₀),P₂(x₀,－y₀)

∵A₁、P₁、P共線，∴

∵A₂、P₂、P共線，∴

解得x₀=

答案：C

二、3.解析：由sinC－sinB=sinA,得c－b=a,

∴應(yīng)為雙曲線一支，且實軸長為,故方程為.

答案：

4.解析：設(shè)P(x,y），依題意有,化簡得P點軌跡方程為4x²+4y²－85x+100=0.

答案：4x²+4y²－85x+100=0

三、5.解：設(shè)過B、C異于l的兩切線分別切⊙O′于D、E兩點，兩切線交于點P.由切線的性質(zhì)知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|

=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由橢圓定義知，點P的軌跡是以B、C為兩焦點的橢圓，以l所在的直線為x軸，以BC的中點為原點，建立坐標(biāo)系，可求得動點P的軌跡方程為=1(y≠0)

6.解：設(shè)P(x₀,y₀）(x≠±a),Q(x,y).

∵A₁(－a,0),A₂(a,0).

由條件

而點P(x₀,y₀)在雙曲線上，∴b²x₀²－a²y₀²=a²b².

即b²(－x²)－a²()²=a²b²

化簡得Q點的軌跡方程為：a²x²－b²y²=a⁴(x≠±a).

7.解：(1)設(shè)P點的坐標(biāo)為(x₁,y₁)，則Q點坐標(biāo)為(x₁,－y₁),又有A₁(－m,0),A₂(m,0),

則A₁P的方程為：y=                                                                 ①

A₂Q的方程為：y=－                                                                  ②

①×②得：y²=－                                                                ③

又因點P在雙曲線上，故

代入③并整理得=1.此即為M的軌跡方程.

(2)當(dāng)m≠n時，M的軌跡方程是橢圓.

(?)當(dāng)m＞n時，焦點坐標(biāo)為(±,0)，準(zhǔn)線方程為x=±,離心率e=；

(?)當(dāng)m＜n時，焦點坐標(biāo)為(0,±),準(zhǔn)線方程為y=±,離心率e=.

8.解：(1)∵點F₂關(guān)于l的對稱點為Q，連接PQ，

∴∠F₂PR=∠QPR，|F₂R|=|QR|，|PQ|=|PF₂|

又因為l為∠F₁PF₂外角的平分線，故點F₁、P、Q在同一直線上，設(shè)存在R(x₀,y₀）,Q(x₁,y₁),F₁(－c,0),F₂(c,0).

|F₁Q|=|F₂P|+|PQ|=|F₁P|+|PF₂|=2a,則(x₁+c)²+y₁²=(2a)².

又

得x₁=2x₀－c,y₁=2y₀.

∴(2x₀)²+(2y₀)²=(2a)²，∴x₀²+y₀²=a².

故R的軌跡方程為：x²+y²=a²(y≠0)

(2)如右圖，∵S_△AOB=|OA|?|OB|?sinAOB=sinAOB

當(dāng)∠AOB=90°時，S_△AOB最大值為a².

此時弦心距|OC|=.

在Rt△AOC中，∠AOC=45°，