Question

已知橢圓=1，點P為其上一點，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的焦點，Q為射線F₁P延長線上一點，且|PQ|=|PF₂|，設R為F₂Q的中點．
（1）當P點在橢圓上運動時，求R形成的軌跡方程；
（2）設點R形成的曲線為C，直線l：y=k（x+4）與曲線C相交于A、B兩點，若∠AOB=90°時，求k的值．

Answer 1

解：（1）F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）設R（x，y），Q（x₁，y₁）．∵|PQ|=|PF₂|，
∴|F₁Q|=|F₂P|+|PQ|=|F₁P|+|PF₂|=8，則（x₁+2）²+y₁²=64．（4分）
又得x₁=2x-2，y₁=2y．
∴（2x）²+（2y）²=64，故R的軌跡方程為：x²+y²=16（7分）
（2）如圖，當∠AOB=90°時，
在Rt△AOC中，∠AOC=45°，此時弦心距|OC|=
又|OC|=．由=得．（12分）
分析：（1）F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）設R（x，y），Q（x₁，y₁）．由|PQ|=|PF₂|，知|F₁Q|=|F₂P|+|PQ|=|F₁P|+|PF₂|=8，所以（x₁+2）²+y₁²=64，由此能導出R的軌跡方程．
（2）當∠AOB=90°時，在Rt△AOC中，∠AOC=45°，此時弦心距|OC|=，又|OC|=．由此能導出k的值．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件．