（2012•浦東新區(qū)一模）設函數T(x)=

2x，  0≤x＜ 1 2 2(1-x)，   1 2 ≤x≤1

（1）求函數y=T（sin（

π

2

x））和y=sin（

π

2

T（x））的解析式；
（2）是否存在非負實數a，使得aT（x）=T（ax）恒成立，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；
（3）定義T_n+1（x）=T_n（T（x）），且T₁（x）=T（x），（n∈N^*）
①當x∈[0，

1

2n

]時，求y=T_n（x）的解析式；
已知下面正確的命題：當x∈[

i-1

2n

，

i+1

2n

]（i∈N^*，1≤i≤2ⁿ-1）時，都有T_n（x）=T_n（

i

2n-1

-x）恒成立．
②對于給定的正整數m，若方程T_m（x）=kx恰有2^m個不同的實數根，確定k的取值范圍；若將這些根從小到大排列組成數列{x_n}（1≤n≤2^m），求數列{x_n}所有2^m項的和．

（2012•浦東新區(qū)一模）設函數T(x)=

2x，  0≤x＜ 1 2 2(1-x)，   1 2 ≤x≤1

（1）求函數y=T（x²）和y=（T（x））²的解析式；
（2）是否存在實數a，使得T（x）+a²=T（x+a）恒成立，若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由；
（3）定義T_n+1（x）=T_n（T（x）），且T₁（x）=T（x），（n∈N^*）
①當x∈[ 0 ，

1

16

 ]時，求y=T₄（x）的解析式；
已知下面正確的命題：當x∈[ 

i-1

16

 ，

i+1

16

 ]時（i∈N^*，1≤i≤15），都有T4(x)=T4(

i

8

-x)恒成立．
②若方程T₄（x）=kx恰有15個不同的實數根，確定k的取值；并求這15個不同的實數根的和．

設事件A發(fā)生的概率為P，若在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率為P′，則由A產生B的概率為PP′，根據這一規(guī)律解答下題：一種擲硬幣走跳棋的游戲：棋盤上有第0，1，2，3，…，100，共101站，設棋子跳到第n站的概率為P_n，一枚棋子開始在第0站（即P₀=1），由棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動一次，若硬幣出現(xiàn)正面則棋子向前跳動一站，出現(xiàn)反面則向前跳動兩站，直到棋子跳到第99站（獲勝）或100站（失�。�時，游戲結束．已知硬幣出現(xiàn)正反面的概率都為

1

2

．
（1）求P₁，P₂，P₃，并根據棋子跳到第n+1站的情況，試用P_n，P_n-1表示P_n+1；
（2）設a_n=P_n-P_n-1（1≤n≤100），求證：數列{a_n}是等比數列，并求出{a_n}的通項公式；
（3）求玩該游戲獲勝的概率．