在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每題10分，共計20分．
A、如圖，AB為⊙O的直徑，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上．求證：PE是⊙O的切線．
B、設(shè)M是把坐標(biāo)平面上的點的橫坐標(biāo)伸長到2倍，縱坐標(biāo)伸長到3倍的伸壓變換．
（1）求矩陣M的特征值及相應(yīng)的特征向量；
（2）求逆矩陣M^-1以及橢圓

x2

4

+

y2

9

=1在M^-1的作用下的新曲線的方程．
C、已知某圓的極坐標(biāo)方程為：ρ2-4

2

ρcos(θ-

π

4

)+6=0．
（Ⅰ）將極坐標(biāo)方程化為普通方程；并選擇恰當(dāng)?shù)膮��?shù)寫出它的參數(shù)方程；
（Ⅱ）若點P（x，y）在該圓上，求x+y的最大值和最小值．
D、若關(guān)于x的不等式|x+2|+|x-1|≥a的解集為R，求實數(shù)a的取值范圍．

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在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．請在答題紙指定區(qū)域內(nèi) 作答．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．如圖，圓O的直徑AB=6，C為圓周上一點，BC=3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交于點D、E．求∠DAC的度數(shù)與線段AE的長．
B．已知二階矩陣A=

2 a b 0

屬于特征值-1的一個特征向量為

1 -3

，求矩陣A的逆矩陣．

C．已知極坐標(biāo)系的極點在直角坐標(biāo)系的原點，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C的極坐標(biāo)方程ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，直線l的參數(shù)方程為

x=- 3 t y=1+t

（t為參數(shù)，t∈{R}）．試求曲線C上點M到直線l的距離的最大值．
D．（1）設(shè)x是正數(shù)，求證：（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³；
（2）若x∈R，不等式（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³是否仍然成立？如果仍成立，請給出證明；如果不成立，請舉出一個使它不成立的x的值．

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在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分，請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：（幾何證明選講）
如圖，從O外一點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，
AB與OP交于點M，設(shè)CD為過點M且不過圓心O的一條弦，
求證：O，C，P，D四點共圓．
B．選修4-2：（矩陣與變換）
已知二階矩陣M有特征值λ=3及對應(yīng)的一個特征向量e₁=[

1 1

]，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點（-1，2）變換成（9，15），求矩陣M．
C．選修4-4：（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
在極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為p=2

2

sin（θ-

π

4

），以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 5 t

（t為參數(shù)），求直線l被曲線C所截得的弦長．
D．選修4-5（不等式選講）
已知實數(shù)x，y，z滿足x+y+z=2，求2x²+3y²+z²的最小值．

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在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，CP是圓O的切線，P為切點，直線CO交圓O于A，B兩點，AD⊥CP，垂足為D．
求證：∠DAP=∠BAP．
B．選修4-2：矩陣與變換
設(shè)a＞0，b＞0，若矩陣A=

.

a 0 0 b

.

把圓C：x²+y²=1變換為橢圓E：

x2

4

+

y2

3

=1．
（1）求a，b的值；（2）求矩陣A的逆矩陣A^-1
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，已知圓C：ρ=4cosθ被直線l：ρsin（θ-\frac{π}{6}）=a截得的弦長為2

3

求實數(shù)a的值．
D．選修4-5：不等式選講已知a，b是正數(shù)，求證：a²+4b²+

1

ab

≥4．

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一、填空

1、；2、；3、；4、；5、；6、5；7、；8、；9、；

10、；11、；12、；13、；14、。

二、解答題

   1`5、（本題滿分14分）

解：（1）（設(shè)“該隊員只屬于一支球隊的”為事件A，則事件A的概率

（2）設(shè)“該隊員最多屬于兩支球隊的”為事件B，則事件B的概率為

答：（略）

16、（本題滿分14分）

解：（1）連，四邊形菱形   ，

  為的中點，

又

               ，

（2）當(dāng)時，使得，連交于，交于，則為 的中點，又為邊上中線，為正三角形的中心，令菱形的邊長為，則，。

   即：   。

17、解：

（1）

          ，

        在區(qū)間上的值域為

     （2）    ，

           ，

18、解：（1）依題意，得：，。

          拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：

      （2）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，半徑為。

        圓心在軸上截得的弦長為

        圓心的方程為：

      從而變?yōu)椋?sub>      ①

對于任意的，方程①均成立。

故有：     解得：

      所以，圓過定點（2，0）。

19、解（1）當(dāng)時，

         令  得 所以切點為（1，2），切線的斜率為1，

      所以曲線在處的切線方程為：。

   （2）①當(dāng)時，，

      ，恒成立。 在上增函數(shù)。

故當(dāng)時，

②  當(dāng)時，，

（）

（i）當(dāng)即時，在時為正數(shù)，所以在區(qū)間上為增函數(shù)。故當(dāng)時，，且此時

(ii)當(dāng)，即時，在時為負(fù)數(shù)，在間 時為正數(shù)。所以在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)

故當(dāng)時，，且此時

(iii)當(dāng)；即 時，在時為負(fù)數(shù)，所以在區(qū)間[1,e]上為減函數(shù)，故當(dāng)時，。

綜上所述，當(dāng)時，在時和時的最小值都是。

所以此時的最小值為；當(dāng)時，在時的最小值為

，而，

所以此時的最小值為。

當(dāng)時，在時最小值為，在時的最小值為，

而，所以此時的最小值為

所以函數(shù)的最小值為

20、解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，，

     依題得：，對恒成立。

即：，對恒成立。

所以，即：或

，故的值為2。

（2）

  所以，

①     當(dāng)為奇數(shù)，且時，。

  相乘得所以 當(dāng)也符合。

②     當(dāng)為偶數(shù)，且時，，

相乘得所以

，所以 。因此 ，當(dāng)時也符合。

所以數(shù)列的通項公式為。

當(dāng)為偶數(shù)時，

當(dāng)為奇數(shù)時，為偶數(shù)，

所以 

南京市2009屆高三第一次調(diào)研試

數(shù)學(xué)附加題參考答案

21、選做題

     .選修：幾何證明選講

 證明：因為切⊙O于點，所以

       因為，所以

  又A、B、C、D四點共圓，所以 所以

 又，所以∽

所以   即

所以    即：

B.選修4-2：矩陣與變換

解:由題設(shè)得,設(shè)是直線上任意一點,

點在矩陣對應(yīng)的變換作用下變?yōu)?sub>,

則有, 即 ,所以

因為點在直線上,從而,即：

所以曲線的方程為 

C.選修4-4;坐標(biāo)系與參數(shù)方程

解： 直線的參數(shù)方程為 為參數(shù)）故直線的普通方程為

   因為為橢圓上任意點，故可設(shè)其中。

  因此點到直線的距離是

所以當(dāng)，時，取得最大值。

D．選修4-5：不等式選講

證明：，所以 

必做題：第22題、第23題每題10分，共20分。

22、解：（1）設(shè)圓的半徑為。

         因為圓與圓，所以

         所以，即：

        所以點的軌跡是以為焦點的橢圓且設(shè)橢圓方程為其中 ，所以

      所以曲線的方程

    （2）因為直線過橢圓的中心，由橢圓的對稱性可知，

        因為，所以。

       不妨設(shè)點在軸上方，則。

所以，，即：點的坐標(biāo)為或

所以直線的斜率為，故所求直線方和程為

23、（1）當(dāng)時，

      原等式變?yōu)?/p>

令得 

  （2）因為  所以

 ①當(dāng)時。左邊=，右邊

      左邊=右邊，等式成立。

②假設(shè)當(dāng)時，等式成立，即

那么，當(dāng)時，

左邊

   右邊。

故當(dāng)時，等式成立。

綜上①②，當(dāng)時，

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