在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分，請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：（幾何證明選講）
如圖，從O外一點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，
AB與OP交于點M，設CD為過點M且不過圓心O的一條弦，
求證：O，C，P，D四點共圓．
B．選修4-2：（矩陣與變換）
已知二階矩陣M有特征值λ=3及對應的一個特征向量e1=[
 
1
1
]，并且矩陣M對應的變換將點（-1，2）變換成（9，15），求矩陣M．
C．選修4-4：（坐標系與參數(shù)方程）
在極坐標系中，曲線C的極坐標方程為p=2
2
sin（θ-
π
4
），以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程為
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
（t為參數(shù)），求直線l被曲線C所截得的弦長．
D．選修4-5（不等式選講）
已知實數(shù)x，y，z滿足x+y+z=2，求2x2+3y2+z2的最小值．
分析：A．因為PA，PB為圓O的兩條切線，所以OP垂直平分弦AB，在Rt△OAP中，OM•MP=AM2，圓O中，AM•BM=CM•DM，由此能夠證明O，C，P，D四點共圓．
B．設M=
ab
cd
，則
ab
cd
1
1
=3
1
1
=
3
3
，
ab
cd
-1
2
=
9
15
，由此能求出M．
C．將ρ=2
2
sin（θ-
π
4
），
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
分別化為普通方程：x2+y2+2x-2y=0，3x+4y+1=0，由此能求出弦長．
D．由柯西不等式知：（x+y+z）2≤[（
2
x）2+（
3
y）2+z2]•[（
1
2
）2+（
1
3
）2+12]，故2x2+3y2+z2≥
24
11
，由此能求出2x2+3y2+z2的最小值．
解答：A．選修4-1：（幾何證明選講）
證明：因為PA，PB為圓O的兩條切線，
所以OP垂直平分弦AB，
在Rt△OAP中，OM•MP=AM2，…（4分）
在圓O中，AM•BM=CM•DM，
所以OM•MP=CM•DM，…（8分）
又弦CD不過圓心O，所以O，C，P，D四點共圓．…（10分）
B．選修4-2：（矩陣與變換）
設M=
ab
cd
，則
ab
cd
1
1
=3
1
1
=
3
3
，
故
a+b=3
c+d=3
．…（4分）
ab
cd
-1
2
=
9
15
，故
-a+2b=9
-c+2d=15
．…（7分）
聯(lián)立以上兩方程組解得a=-1，b=4，c=-3，d=6，
故M=
-14
-36
． …（10分）
C．選修4-4：（坐標系與參數(shù)方程）
解：將方程ρ=2
2
sin（θ-
π
4
），
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
分別化為普通方程：
x2+y2+2x-2y=0，3x+4y+1=0，…（6分）
由曲線C的圓心為C（-1，1），半徑為
2
，
所以圓心C到直線l的距離為
2
5
，
故所求弦長為2
2-(
2
5
)2
=
2
46
5
．…（10分）
D．選修4-5（不等式選講）
解：由柯西不等式可知：
（x+y+z）2≤[（
2
x）2+（
3
y）2+z2]•[（
1
2
）2+（
1
3
）2+12]，…（5分）
故2x2+3y2+z2≥
24
11
，
當且僅當
2
x
1
2
=
3
y
1
3
=
z
1
，
即：x=
6
11
，y=
4
11
，z=
12
11
時，
2x2+3y2+z2取得最小值為
4
11
．…（10分）
點評：A考查與圓有關的比例線段的應用，B考查矩陣與變換的應用，C考查極坐標與參數(shù)方程的應用，D考查柯西不等式的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的靈活運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．請在答題紙指定區(qū)域內(nèi) 作答．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．如圖，圓O的直徑AB=6，C為圓周上一點，BC=3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交于點D、E．求∠DAC的度數(shù)與線段AE的長．
B．已知二階矩陣A=
2a
b0
屬于特征值-1的一個特征向量為
1
-3
，求矩陣A的逆矩陣．

C．已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C的極坐標方程ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直線l的參數(shù)方程為
x=-
3
t
y=1+t
（t為參數(shù)，t∈{R}）．試求曲線C上點M到直線l的距離的最大值．
D．（1）設x是正數(shù)，求證：（1+x）（1+x2）（1+x3）≥8x3；
（2）若x∈R，不等式（1+x）（1+x2）（1+x3）≥8x3是否仍然成立？如果仍成立，請給出證明；如果不成立，請舉出一個使它不成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

選做題在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．
A選修4-1：幾何證明選講
如圖，延長⊙O的半徑OA到B，使OA=AB，DE是圓的一條切線，E是切點，過點B作DE的垂線，垂足為點C．
求證：∠ACB=
1
3
∠OAC．
B選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=
.
11
21
.
，向量
β
=
1
2
．求向量
a
，使得A2
a
=
β
．
C選修4-3：坐標系與參數(shù)方程
已知橢圓C的極坐標方程為ρ2=
a
3cos2θ+4sin2θ
，焦距為2，求實數(shù)a的值．
D選修4-4：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=（x-a）2+（x-b）2+（x-c）2+
(a+b+c)2
3
（a，b．c為實數(shù)）的最小值為m，若a-b+2c=3，求m的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（選做題）在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，⊙O的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點，BM的延長線交⊙O于N，過
N點的切線交CA的延長線于P．
（1）求證：PM2=PA•PC；
（2）若⊙O的半徑為2
3
，OA=
3
OM，求MN的長．
B．選修4-2：矩陣與變換
曲線x2+4xy+2y2=1在二階矩陣M=
.
1a
b1
.
的作用下變換為曲線x2-2y2=1，求實數(shù)a，b的值；
C．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在極坐標系中，圓C的極坐標方程為ρ=
2
cos(θ+
π
4
)，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程為
x=1+
4
5
t 
y=-1-
3
5
t 
（t為參數(shù)），求直線l被圓C所截得的弦長．
D．選修4-5：不等式選講
設a，b，c均為正實數(shù)．
（1）若a+b+c=1，求a2+b2+c2的最小值；
（2）求證：
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
≥
1
b+c
+
1
c+a
+
1
a+b
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

選做題：在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共20分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，PA切⊙O于點A，D為PA的中點，過點D引割線交⊙O于B、C兩點．求證：∠DPB=∠DCP．
B．選修4-2：矩陣與變換
設M=
.
10
02
.
，N=
.
1
2
0
01
.
，試求曲線y=sinx在矩陣MN變換下的曲線方程．
C．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在極坐標系中，圓C的極坐標方程為ρ=
2
cos(θ+
π
4
)，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程為
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
（t為參數(shù)），求直線l被圓C所截得的弦長．
D．選修4-5：不等式選講
解不等式：|2x+1|-|x-4|＜2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

 選做題（在A、B、C、D四小題中只能選做兩題，并將選作標記用2B鉛筆涂黑，每小題10分，共20分，請在答題指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）．
A、（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于E，求證：AB2=AE•AD
B、（選修4-2：矩形與變換）
已知a，b實數(shù)，如果矩陣M=
1a
b2
所對應的變換將直線3x-y=1變換成x+2y=1，求a，b的值．
C、（選修4-4，：坐標系與參數(shù)方程）
設M、N分別是曲線ρ+2sinθ=0和ρsin（θ+
π
4
）=
2
2
上的動點，判斷兩曲線的位置關系并求M、N間的最小距離．
D、（選修4-5：不等式選講）
設a，b，c是不完全相等的正數(shù)，求證：a+b+c＞
ab
+
bc
+
ca
．

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