如圖，在三棱錐中，是正三角形，，D是的中點(diǎn)，二面角為120，，.取AC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，BD交z軸于點(diǎn)E.

（I）求B、D、P三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（II）求異面直線AB與PC所成的角；

已知正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁，

  O是底面ABCD對(duì)角線的交點(diǎn).

（1）求證：A₁C⊥平面AB₁D₁；

（2）求.

【解析】（1）證明線面垂直，需要證明直線垂直這個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，本題只需證：即可.

（2）可以利用向量法，也可以根據(jù)平面A₁ACC₁與平面AB₁D₁垂直，可知取B₁D₁的中點(diǎn)E，則就是直線AC與平面AB₁D₁所成的角.然后解三角形即可.

 

如圖,在正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,M是棱DD₁的中點(diǎn),O是底面ABCD的中心,P是棱A₁B₁上任意一點(diǎn),則直線OP與直線AM所成角的大小等于(    )

A.45°                  B.90°                  C.60°                  D.不能確定

在正方體AC1中, M為棱DD1的中點(diǎn), O為底面ABCD的中心, P為棱A1B1上任意一點(diǎn), 則直線OP與AM所成的角為 （    ）

    A．30° B．60°    C．90°     D．120°

 

（12分）

學(xué)校欲在操場(chǎng)邊上一直角三角形空地ABC上種植草坪，并需鋪設(shè)一根水管EF（E在AC上，F(xiàn)在AB上）用于灌溉，已知∠A=30°，∠C=90°，BC=2a，D是BC中點(diǎn)，為確保灌溉的效果，鋪設(shè)時(shí)要求∠EDF=60°�，F(xiàn)有兩種方案可供參考。甲方案：取AC的中點(diǎn)E鋪設(shè)水管；乙方案：取AB的中點(diǎn)F鋪設(shè)水管。

（1）比較甲乙兩種方案，哪一種方案更合理（EF的長較小的合理）；

（2）學(xué)校研究小組通過研究得出：無論D在BC的什么位置，總存在E，F(xiàn)兩點(diǎn)，使△DEF為正三角形。試證明該結(jié)論的正確性。