（2006•上海模擬）如圖，已知等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=2，M是邊AC上一點，過點M的直線交CB的延長線于點N，交邊AB于點P，且AM=BN．
（1）求證：MP=NP；
（2）設AM=x，四邊形MCBP的面積為y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；
（3）探索：以線段CM為直徑的圓能否與邊AB相切？如果能夠相切，請求出x的值；如果不能相切，請說明理由．

如圖1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點E是BC邊上一點，∠DEF=45°且角的兩邊分別與邊AB，射線CA交于點P，Q．
（1）如圖2，若點E為BC中點，將∠DEF繞著點E逆時針旋轉，DE與邊AB交于點P，EF與CA的延長線交于點Q．設BP為x，CQ為y，試求y與x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）如圖3，點E在邊BC上沿B到C的方向運動（不與B，C重合），且DE始終經過點A，EF與邊AC交于Q點．探究：在∠DEF運動過程中，△AEQ能否構成等腰三角形，若能，求出BE的長；若不能，請說明理由．

如圖1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏將一塊三角板中含45°角的頂點放在A上，從AB邊開始繞點A逆時針旋轉一個角α，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點D，直角邊所在的直線交直線BC于點E．
（1）小敏在線段BC上取一點M，連接AM，旋轉中發(fā)現(xiàn)：若AD平分∠BAM，則AE也平分∠MAC．請你證明小敏發(fā)現(xiàn)的結論；
（2）當0°＜α≤45°時，小敏在旋轉中還發(fā)現(xiàn)線段BD、CE、DE之間存在如下等量關系：BD²+CE²=DE²．同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進行解決；小穎的想法：將△ABD沿AD所在的直線對折得到△ADF（如圖2）；小亮的想法：將△ABD繞點A順時針旋轉90°得到△ACG（如圖3）．請你選擇其中的一種方法證明小敏的發(fā)現(xiàn)的是正確的．

（2012•寧德）某數(shù)學興趣小組開展了一次活動，過程如下：
如圖1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏將一塊三角板中含45°角的頂點放在A上，從AB邊開始繞點A逆時針旋轉一個角α，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點D，直角邊所在的直線交直線BC于點E．
（1）小敏在線段BC上取一點M，連接AM，旋轉中發(fā)現(xiàn)：若AD平分∠BAM，則AE也平分∠MAC．請你證明小敏發(fā)現(xiàn)的結論；
（2）當0°＜α≤45°時，小敏在旋轉中還發(fā)現(xiàn)線段BD、CE、DE之間存在如下等量關系：BD²+CE²=DE²．
同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進行解決；小穎的想法：將△ABD沿AD所在的直線對折得到△ADF，連接EF（如圖2）
小亮的想法：將△ABD繞點A順時針旋轉90°得到△ACG，連接EG（如圖3）；
小敏繼續(xù)旋轉三角板，在探究中得出當45°＜α＜135°且α≠90°時，等量關系BD²+CE²=DE²仍然成立，先請你繼續(xù)研究：當135°＜α＜180°時（如圖4）等量關系BD²+CE²=DE²是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．