在平面四邊形ABCD中，△ABC為正三角形，△ADC為等腰直角三角形，AD=DC=2，將△ABC沿AC折起，使點B至點P，且PD=2，M為PA的中點，N在線段PD上．

（I）若PA⊥平面CMN，求證：AD∥平面CMN；
（II）求直線PD與平面ACD所成角的余弦值．

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在平面四邊形ABCD中，△ABC為正三角形，△ADC為等腰直角三角形，AD=DC=2，將△ABC沿AC折起，使點B至點P，且PD=2，M為PA的中點，N在線段PD上．

（I）若PA⊥平面CMN，求證：AD∥平面CMN；
（II）求直線PD與平面ACD所成角的余弦值．

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（2012•昌平區(qū)二模）在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=2，E為AD中點，F(xiàn)為CC₁中點．
（Ⅰ）求證：AD⊥D₁F；
（Ⅱ）求證：CE∥平面AD₁F；
（Ⅲ） 求平面AD₁F與底面ABCD所成二面角的余弦值．

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（2013•和平區(qū)一模）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B_lC₁中，AC=BC=

2

，∠ACB=90°．AA₁=2，D為AB的中點．
（Ⅰ）求證：AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求證：AC₁∥平面B₁CD：
（Ⅲ）求異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值．

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如圖，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點．
（1）求證：EF⊥平面PAB；
（2）求異面直線EG與BD所成的角的余弦值．

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一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。

1．B    2．D   3．A   4．A   5．B   6．C   7．C   8．C   9．A   10．B

二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。

11．5   12．    13．    14．7       15．

三、解答題：本大題共6小題，共80分。

16．解：（I）由三角函數(shù)的定義可知

    又為正三角形，

   （Ⅱ）

      圓的面積為。

     該點落在內的概率

17．解：（I）依題意，每個月更新的車輛數(shù)構成一個首項為，公差為的等差數(shù)列，設第

個月更新的車輛數(shù)為，則

    該市的出租車總數(shù)（輛）

   （Ⅱ）依題意，每個月更新的車輛數(shù)構成一個首項為，公比為1.1的等比數(shù)列，則第

個月更新的車輛數(shù)，設至少需要個月才能更新完畢，

     個月更新的車輛總數(shù)，

     即，由參數(shù)數(shù)據(jù)可得

     故以此速度進行更新，至少需要37個月才能更新完該市所有的出租車

18．解（I），為等腰直角三角形，

   （Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系，則

    設平面的一個法向量為，

    則有  得

    平面的一個法向量

    而的一個法向量

    平面與平面所成的角的余弦值

   （Ⅲ），

    設平面的法向量為，則有

    平面的一個法向量為

     若要使得面，則要，即

     解得， 當時，  面

19．解法一：

   （I）設橢圓方程為，由題意知

    故橢圓方程為

   （Ⅱ）由（I）得，所以，設的方程為（）

    代入，得

    設則

    由，

    當時，有成立。

   （Ⅲ）在軸上存在定點，使得、、三點共線。

     依題意知，直線BC的方程為，

     令，則

     的方程為、在直線上，

     在軸上存在定點，使得、、三點共線。

     解法二：（I）同解法一。

    （Ⅱ）由（I）得，所以。

     設的方程為

     代入，得

     設則

     當時，有成立。

    （Ⅲ）在軸上存在定點，使得、、三點共線。

     設存在使得、、三點共線，則，

     ，

     即

     ，。

     所以，存在，使得、、三點共線。

20．解：（I）

    當時，

    由或。

x

(0,1)

1

+

―

單調遞增

極大值

單調遞減

    時，，無極小值。

   （Ⅱ）存在單調遞減區(qū)間，

    在內有解，即在內有解。

    若，則，在單調遞增，不存在單調遞減區(qū)間；

    若，則函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，且恒過點（0，1），要

使在內有解，則應有

或，由于，；

若，則函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線，且恒過點（0，1），

在內一定有解。

綜上，或。

   （Ⅲ）依題意：，假設結論不成立，

則有

①―②，得

  由③得，

即

設，則，

令

，在（0，1）上為增函數(shù)。