Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量

a

=(x，y-4)，

b

=(kx，y+4)（k∈R），

a

⊥

b

，動點(diǎn)M（x，y）的軌跡為T．
（1）求軌跡T的方程，并說明該方程表示的曲線的形狀；
（2）當(dāng)k=1時(shí)，已知O（0，0）、E（2，1），試探究是否存在這樣的點(diǎn)Q：Q是軌跡T內(nèi)部
的整點(diǎn)（平面內(nèi)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)），且△OEQ的面積S_△OEQ=2？
若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)

a

⊥

b

得到

a

•

b

=0可求關(guān)于動點(diǎn)M（x，y）的方程，由圓錐曲線的性質(zhì)對k進(jìn)行討論即可．
（2）先確定軌跡T的方程，然后假設(shè)存在滿足條件得點(diǎn)Q，聯(lián)立直線方程和軌跡T的方程可得答案．

解答：解：（1）∵

a

⊥

b

∴

a

•b

=(x，y-4)•(kx，y+4)=0，
得kx²+y²-16=0，即kx²+y²=16
當(dāng)k=0時(shí)，方程表示兩條與x軸平行的直線；
當(dāng)k=1時(shí)，方程表示以原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓
當(dāng)k＞0且k≠1時(shí)，方程表示橢圓；
當(dāng)k＜0時(shí)，方程表示雙曲線．

（2）由（1）知，當(dāng)k=1時(shí)，軌跡T的方程為：x²+y²=4²．
連接OE，易知軌跡T上有兩個點(diǎn)A（-4，0），B（4，0）滿足S_△OEA=S_△OEB=2，
分別過A、B作直線OE的兩條平行線l₁、l₂．

∵同底等高的兩個三角形的面積相等，
∴符合條件的點(diǎn)均在直線l₁、l₂上．
∵kOE=

1

2

，∴直線l₁、l₂的方程分別為：y=

1

2

(x+4)、y=

1

2

(x-4)
設(shè)點(diǎn)Q（x，y）（x，y∈Z）∵Q在軌跡T內(nèi)，∴x²+y²＜16
分別解

x2+y2＜16 y= 1 2 (x+4)

與

x2+y2＜16 y= 1 2 (x-4)

得-4＜x＜2

2

5

與-2

2

5

＜x＜4
∵x，y∈Z∴x為偶數(shù)，在(-4，2

2

5

)上x=-2，，0，2，對應(yīng)的y=1，2，3；
在(-2

2

5

，4)上x=-2，0，2，對應(yīng)的y=-3，-2，-1
∴滿足條件的點(diǎn)Q存在，共有6個，它們的坐標(biāo)分別為：
（-2，1），（0，2），（2，3），（-2，-3），（0，-2），（2，-1）．

點(diǎn)評：本題主要考查向量的垂直和點(diǎn)乘之間的關(guān)系和圓錐曲線的有關(guān)問題．圓錐曲線每年必考，這種題型解題時(shí)經(jīng)常是圓錐曲線和直線的聯(lián)立來解決問題．