30．已知m.n為正整數(shù). (Ⅰ)用數(shù)學歸納法證明:當x>-1時.(1+x)m≥1+mx, (Ⅱ)對于n≥6.已知.求證.m=1,1,2-.n, (Ⅲ)求出滿足等式3n+4m+-+(n+2)m=(n+3)n的所有正整數(shù)n. 解:(Ⅰ)證:當x=0或m=1時.原不等式中等號顯然成立.下用數(shù)學歸納法證明: 當x>-1.且x≠0時.m≥2,(1+x)m>1+mx. 1 (i)當m=2時.左邊＝1+2x+x2,右邊＝1+2x.因為x≠0,所以x2>0.即左邊>右邊.不等式①成立, (ii)假設(shè)當m=k(k≥2)時.不等式①成立.即(1+x)k>1+kx,則當m=k+1時.因為x>-1,所以1+x>0.又因為x≠0,k≥2,所以kx2>0. 于是在不等式(1+x)k>1+kx兩邊同乘以1+x得 (1+x)k·(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x, 所以(1+x)k+1>1+(k+1)x,即當m＝k+1時.不等式①也成立. 綜上所述.所證不等式成立. (Ⅱ)證:當 而由(Ⅰ). (Ⅲ)解:假設(shè)存在正整數(shù)成立. 即有()+＝1. ② 又由(Ⅱ)可得 ()+ +與②式矛盾. 故當n≥6時.不存在滿足該等式的正整數(shù)n. 故只需要討論n=1,2,3,4,5的情形, 當n=1時.3≠4.等式不成立, 當n=2時.32+42＝52.等式成立, 當n=3時.33+43+53＝63.等式成立, 當n=4時.34+44+54+64為偶數(shù).而74為奇數(shù).故34+44+54+64≠74,等式不成立, 當n=5時.同n=4的情形可分析出.等式不成立. 綜上.所求的n只有n=2,3. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

(2007湖北，21)已知m，n為正整數(shù)．

(1)用數(shù)學歸納法證明：當x＞－1時，；

(2)對于n≥6，已知，求證，m=1，2，…，n；

(3)求出滿足等式的所有正整數(shù)n．

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