Question

(2007湖北，21)已知m，n為正整數(shù)．

(1)用數(shù)學歸納法證明：當x＞－1時，；

(2)對于n≥6，已知，求證，m=1，2，…，n；

(3)求出滿足等式的所有正整數(shù)n．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)用數(shù)學歸納法證明： ①當m=1時，原不等式成立；當m=2時，左邊，右邊=1＋2x，因為，所以左邊≥右邊，原不等式成立； ②假設(shè)當m=k時，不等式成立，即， 則當m=k＋1時，∵x＞－1，∴1＋x＞0． 于是在不等式兩邊同乘以1＋x 得， 所以，即當m=k＋1時，不等式也成立． 綜合①②知，對一切正整數(shù)m，不等式都成立． (2)當n≥6，mn時，由(1)得， 于是，m=1，2，…，n． (3)由(2)知，當n6時， ∴， 即．即當n≥6時，不存在滿足該等式的正整數(shù)n． 故只需要計論n=1，2，3，4，5的情形： 當n=1時，3≠4，等式不成立； 當n=2時，，等式成立； 當n=3時，，等式成立； 當n=4時，為偶數(shù)，而為奇數(shù)， 故，等式不成立； 當n=5時，同n=4的情形可分析出，等式不成立． 綜上，所求的n只有n=2，3．