由函數(shù)y=f（x）確定數(shù)列{a_n}，a_n=f（n），函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)y=f^-1（x）能確定數(shù)列{b_n}，b_n=f^-1（n），若對于任意n?N^*，都有b_n=a_n，則稱數(shù)列{b_n}是數(shù)列{a_n}的“自反數(shù)列”．
（1）若函數(shù)f（x）=

px+1

x+1

確定數(shù)列{a_n}的自反數(shù)列為{b_n}，求a_n；
（2）在（1）條件下，記

n

1 x1 + 1 x2 +… 1 xn

為正數(shù)數(shù)列{x_n}的調和平均數(shù)，若d_n=

2

an+1

-1，S_n為數(shù)列{d_n}的前n項之和，H_n為數(shù)列{S_n}的調和平均數(shù)，求

lim

n→∞

=

Hn

n

；
（3）已知正數(shù)數(shù)列{c_n}的前n項之和Tn=

1

2

(Cn+

n

Cn

)．求T_n表達式．

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=0，a_n+1=

1

2-an

，（n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{

1

an-1

}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，證明S_n＜n-ln（n+1）；
（Ⅲ）設b_n=a_n（

9

10

）ⁿ，證明：對任意的正整數(shù)n、m均有|b_n-b_m|＜

3

5

．

已知函數(shù)f（x）=5x-5x²，記函數(shù)f₁（x）=f（x），f₂（x）=f[f₁（x）]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…，f_n（x）=f[f_n-1（x）]，…，考察區(qū)間A=（-∞，0），對任意實數(shù)x∈A，有f₁（x）=f（x）=a＜0，f₂（x）=f[f₁（x）]=f（a）＜0，且n≥2時，f_n（x）＜0，問：是否還有其它區(qū)間，對于該區(qū)間的任意實數(shù)x，只要n≥2，都有f_n（x）＜0？