（2012•宣城模擬）已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對任意n∈N^*，有2a_n=S_n+n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)f（n）=n² （n∈N^*），試比較S_n與f（n）的大小，并說明理由．

已知f（x）=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx+d的圖象過原點，且在點（-1，f（-1））處的切線與x軸平行．對任意x∈R，都有x≤f′（x）≤

1

2

(x2+1)．
（1）求函數(shù)y=f（x）在點（1，f（1））處切線的斜率；
（2）求f（x）的解析式；
（3）設(shè)g（x）=12f（x）-4x²-3x-3，h(x)=

m

x

+x•lnx，對任意x1，x2∈[

1

2

，2]，都有h（x₁）≥g（x₂），求實數(shù)m的取值范圍．

數(shù)列{a_n}是公差為d（d＞0）的等差數(shù)列，且a₂是a₁與a₄的等比中項，設(shè)S_n=a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1（n∈N^*）．
（1）求證：

Sn

+

Sn+2

=2

Sn+1

；
（2）若d=

1

4

，令b_n=

Sn

2n-1

，{b_n}的前n項和為T_n，是否存在整數(shù)P、Q，使得對任意n∈N^*，都有P＜T_n＜Q，若存在，求出P的最大值及Q的最小值；若不存在，請說明理由．

（2009•黃浦區(qū)二模）若數(shù)列{a_n}滿足a_n+2+pa_n+1+qa_n=0（其中p²+q²≠0，且p、q為常數(shù)）對任意n∈N^*都成立，則我們把數(shù)列{a_n}稱為“L型數(shù)列”．
（1）試問等差數(shù)列{a_n}、等比數(shù)列{b_n}（公比為r）是否為L型數(shù)列？若是，寫出對應(yīng)p、q的值；若不是，說明理由．
（2）已知L型數(shù)列{a_n}滿足a_n+1+pa_n+qa_n-1=0（n≥2，n∈N^*，p²-4q＞0，q≠0），x₁、x₂是方程x²+px+q=0的兩根，若b-ax_i≠0（i=1，2），求證：數(shù)列{a_n+1-x_ia_n}（i=1，2，n∈N^*）是等比數(shù)列（只選其中之一加以證明即可）．
（3）請你提出一個關(guān)于L型數(shù)列的問題，并加以解決．（本小題將根據(jù)所提問題的普適性給予不同的分值，最高10分）

（2012•綿陽三模）已知數(shù)列{a_n}各項均為正數(shù)，S_n為其前n項和，對于n∈N^*，總有an，Sn，

a

2 n

成等差數(shù)列．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（II）設(shè)數(shù)列{

1

an

}的前n項和為T_n，數(shù)列{T_n}的前n項和為R_n，求證：當(dāng)n≥2，n∈N^*時，R_n-1=n（T_n-1）；
（III）對任意n≥2，n∈N^*，試比較

1

n

+

1

n+1

+

n

i=1

a -3 i

與2+

1

2

的大小．