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如圖，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，.

(1)求直線與平面所成角的正弦值；
(2)在線段上是否存在點(diǎn)？使得二面角的大小為60°，若存在，求出的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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說明：

       一、本解答指出了每題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則.

       二、對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分.

       三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).

       四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分.

一、選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分50分.

1. A        2. C        3. C        4.C         5.D         6.D         7. B        8. D        9. B        10. C

二、填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題4分，滿分20分.

11.  12.38            12.  5           13.  3        14.     15. ②③

三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16. 本小題主要考查正弦定理、三角函數(shù)的倍角公式、兩角和公式等基本知識(shí)，考

查學(xué)生的運(yùn)算求解能力. 滿分13分.

解：（Ⅰ）由，知                 ………………………（2分）

又，得，

          ，                   ………（5分）

故                                   ………（6分）

（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，

                   ………………（9分）

         ，

         當(dāng)，即時(shí)，取得最大值為．   ……（13分）                               

17. 本題主要考查線線、線面、面面位置關(guān)系，線面角等基本知識(shí)，考查空間想像能力，運(yùn)算求解能力和推理論證能力. 滿分13分.

解：（Ⅰ）證明：如圖，取中點(diǎn)，連結(jié)，；

∥，∥，

又，，

，…………（3分）

四邊形為平行四邊形，

∥，

又平面，平面，

∥平面．                        ………………………（6分）

（Ⅱ）依題意知平面平面，，

平面，得  

又，.

如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系-xyz，

，可得、、，

.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

由   得

解得，．            ………………（9分）

設(shè)線段上存在一點(diǎn)，其中，則，

，

依題意：，即，

可得，解得（舍去）．  

 所以上存在一點(diǎn)．   …………（13分）

18．本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題與解決問題的能力，

考查應(yīng)用意識(shí). 滿分13分.

  解：（Ⅰ）依題意，銷售價(jià)提高后為6000（1+）元/臺(tái)，月銷售量為臺(tái)…（2分）

則               ……………………（4分）

即．       ……………………（6分）

（Ⅱ）令，得，

解得舍去）．                      ……………………（9分）

當(dāng) 當(dāng)當(dāng)時(shí)，取得最大值．

此時(shí)銷售價(jià)為元．

答：筆記本電腦的銷售價(jià)為9000元時(shí)，電腦企業(yè)的月利潤最大．…………………（13分）

19．本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、不等式的解法等基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和分析問題、解決問題的能力. 滿分13分

解：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)是（1，0），所以半焦距=1.

因?yàn)闄E圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.

所以，解得

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.  …（4分）                

（Ⅱ）（i）設(shè)直線：與聯(lián)立并消去得：.

記，，

，

.  ……………（5分）

由A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，得，根據(jù)題設(shè)條件設(shè)定點(diǎn)為（，0），

得，即.所以

即定點(diǎn)（1 ， 0）.                ……（8分）

（ii）由（i）中判別式，解得.     可知直線過定點(diǎn) (1,0).

所以    　　　   ……………（10分）

得,  令

記，得，當(dāng)時(shí)，.

在上為增函數(shù). 所以 ，

得.故△OA₁B的面積取值范圍是.           …（13分）

20. 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、等差數(shù)列、不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)用合理的推理證明解決問題的方法，考查分類與整合及化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想. 滿分14分.

解：（Ⅰ）因?yàn)?sub>，

所以.           ………………（1分）

（i）當(dāng)時(shí)，.

（ii）當(dāng)時(shí)，由，得到，知在上.

（iii）當(dāng)時(shí)，由，得到，知在上.

綜上，當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí), 遞增區(qū)間為.                   …………（4分）

（Ⅱ）（i）因?yàn)?sub>，所以，即，

，即.     ……………………………………（6分）

因?yàn)?sub>，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

所以.                  …………………………（8分）

又因?yàn)?sub>，

所以令，則

得到與矛盾，所以不在數(shù)列中.    ………（9分）

（ii）充分性：若存在整數(shù)，使.

設(shè)為數(shù)列中不同的兩項(xiàng)，則.

又且,所以.

即是數(shù)列的第項(xiàng).           ……………………（10分）

必要性：若數(shù)列中任意不同兩項(xiàng)之和仍為數(shù)列中的項(xiàng)，

則，，（，為互不相同的正整數(shù)）

則，令，

得到 ，

所以，令整數(shù)，所以.　……（11 分）

下證整數(shù).若設(shè)整數(shù)則.令，

由題設(shè)取使

即，所以

即與相矛盾，所以.

綜上, 數(shù)列中任意不同兩項(xiàng)之和仍為數(shù)列中的項(xiàng)的充要條件是存在整數(shù)，使.                          ……………………（14分）

21. （1）本題主要考查矩陣乘法、逆矩陣與變換等基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力， 滿分7分.

解： ，即 ，

所以  得              …………（4分）

     即M=   ，由得 .

或 =1 ,  .          …………（7分）

（2）本題主要考查圓極坐標(biāo)方程和直線參數(shù)方程等基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想. 滿分7分.

解：曲線的極坐標(biāo)方程可化為,

其直角坐標(biāo)方程為，即.      ………（2分）

直線的方程為.

所以，圓心到直線的距離          ………（5分）

所以，的最小值為.                 …………（７分）

（3）本題主要考查柯西不等式與不等式解法等基本知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想. 滿分7分.

解：由柯西不等式：

. …………（3分）

因?yàn)?sub>

所以，即. 

因?yàn)?sub>的最大值是7,所以，得，

當(dāng)時(shí)，取最大值，

所以.                         ……………………（7分）