（12分）圓、橢圓、雙曲線都有對稱中心，統(tǒng)稱為有心圓錐曲線，它們統(tǒng)一的標準方程為.圓的很多優(yōu)美性質可以類比推廣到有心圓錐曲線中,如圓的“垂徑定理”的逆定理:圓的平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦. 類比推廣到有心圓錐曲線：已知直線與曲線：交于兩點，的中點為，若直線和(為坐標原點)的斜率都存在，則.這個性質稱為有心圓錐曲線的“垂徑定理”.

（Ⅰ）證明有心圓錐曲線的“垂徑定理”；

（Ⅱ）利用有心圓錐曲線的“垂徑定理”解答下列問題：

①     過點作直線與橢圓交于兩點，求的中點的軌跡的方程；

②     過點作直線與有心圓錐曲線交于兩點，是否存在這樣的直線使點為線段的中點？若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由.

解析：（Ⅰ）證明 設

相減得  

注意到  

有        

即                        …………………………………………5分

（Ⅱ）①設

由垂徑定理，

即       

化簡得  

當與軸平行時，的坐標也滿足方程.

故所求的中點的軌跡的方程為；

…………………………………………8分

②     假設過點P(1,1)作直線與有心圓錐曲線交于兩點，且P為的中點，則

         

由于 

直線，即，代入曲線的方程得

         即   

         由  得.

故當時，存在這樣的直線，其直線方程為；

當時，這樣的直線不存在.        ………………………………12分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

有對稱中心的曲線叫做有心曲線，顯然圓、橢圓、雙曲線都是有心曲線．過有心曲線的中心的弦叫有心曲線的直徑（為研究方便，不妨設直徑所在直線的斜率存在）．
定理：過圓x2+y2=r2（r＞0）上異于某直徑兩端點的任意一點，與這條直徑的兩個端點連線，則兩條直線的斜率之積為定值-1．寫出該定理在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)中的推廣（不必證明）：
過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上異于某直徑兩端點的任意一點，與這條直徑的兩個端點連線，則兩條連線的斜率之積為定值-
b2
a2
過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上異于某直徑兩端點的任意一點，與這條直徑的兩個端點連線，則兩條連線的斜率之積為定值-
b2
a2

．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

有對稱中心的曲線叫做有心曲線，顯然圓、橢圓、雙曲線都是有心曲線．過有心曲線的中心的弦叫有心曲線的直徑（為研究方便，不妨設直徑所在直線的斜率存在）．
定理：過圓x2+y2=r2（r＞0）上異于某直徑兩端點的任意一點，與這條直徑的兩個端點連線，則兩條直線的斜率之積為定值-1．寫出該定理在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)中的推廣（不必證明）：
______
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

(本小題滿分12分)有對稱中心的曲線叫有心曲線，如圓、橢圓、雙曲線都是有心曲線，過有心曲線的中心的弦叫有心曲線的直徑，有心曲線有許多類似的優(yōu)美性質。

（1）定理：過圓上異于直徑兩端點的任意一點與直徑兩端點的連線斜率之積為定值．試寫出該定理在橢圓中的類似結論；

（2）定理：圓的兩條互相垂直的直徑稱為共軛直徑，且這兩條共軛直徑與圓相交得到的四邊形的面積為定值．在橢圓中兩條斜率之積為的直徑稱為共軛直徑，試探究橢圓中兩條共軛直徑與橢圓相交得到的四邊形的面積的類似結論，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年湖南省長沙市長郡中學高二（上）期中數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

有對稱中心的曲線叫做有心曲線，顯然圓、橢圓、雙曲線都是有心曲線．過有心曲線的中心的弦叫有心曲線的直徑（為研究方便，不妨設直徑所在直線的斜率存在）．
定理：過圓x2+y2=r2（r＞0）上異于某直徑兩端點的任意一點，與這條直徑的兩個端點連線，則兩條直線的斜率之積為定值-1．寫出該定理在橢圓中的推廣（不必證明）：
   
．

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