(13分)已知橢圓的長軸長為4，A,B,C是橢圓上的三點，點A是長軸的一個頂點，BC過橢圓的中心O，且，，如圖.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）如果橢圓上的兩點P,Q使的平分線垂直于OA，是否總存在實數(shù)，使得？請說明理由.

（本題13分）已知數(shù)列{a_n}中，a₁ = t (t≠0，且t≠1)，a₂ = t²．且當(dāng)x = t時，函數(shù)f (x) =(a_n a_{n 1})x² (a_{n + 1} a_n) x    (n≥2)取得極值．

    （1）求證：數(shù)列{a_{n + 1} a_n}是等比數(shù)列；

    （2）若b_n = a_n ln |a_n| (n∈N⁺)，求數(shù)列{b_n}的前n項的和S_n；

    （3）當(dāng)t = 時，數(shù)列{b_n}中是否存在最大項？如果存在，說明是第幾項，如果不存在，請說明理由．

（本題13分）設(shè)橢圓的左右焦點分別為，，上頂點為，過點與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點，且是的中點．

（1）求橢圓的離心率；

（2）若過點的圓恰好與直線相切，求橢圓的方程；

（3）在（2）的條件下過右焦點作斜率為的直線與橢圓相交于兩點，在軸上是否存在點使得以為鄰邊的平行四邊形為菱形，如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，說明理由。

(本小題13分)

已知橢圓的焦點在軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率，過橢圓的右焦點作不與坐標(biāo)軸垂直的直線，交橢圓于A、B兩點．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)點M（m，0）是線段OF上的一個動點，且，求取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)點C是點A關(guān)于x軸的對稱點，在x軸上是否存在一個定點N，使得C、B、N 三點共線？若存在，求出定點N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．