(13分)已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，A,B,C是橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的一個(gè)頂點(diǎn)，BC過橢圓的中心O，且，，如圖.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）如果橢圓上的兩點(diǎn)P,Q使的平分線垂直于OA，是否總存在實(shí)數(shù)，使得？請(qǐng)說明理由.

解析:（Ⅰ）由題意知：，，

則橢圓方程為…………………………………………………………………2分  

由橢圓的對(duì)稱性知：，

　又，即為等腰直角三角形，………………………4分

　由得：，代入橢圓方程得：，

　即橢圓方程為；………………………………………………………………6分

（Ⅱ）假設(shè)總存在實(shí)數(shù)，使得，即，……………………………7分

　由得，則，………………………………………8分

　若設(shè)CP：，則CQ：，

　由，………………9分

　由得是方程的一個(gè)根，

　由韋達(dá)定理得：，以代k得，…10分

　故，故，       ………………13分

　即總存在實(shí)數(shù)，使得        …………………………………………14分
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本題13分）已知橢圓的方程是，點(diǎn)分別是橢圓的長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，

左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且過點(diǎn)。

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知是橢圓的右焦點(diǎn)，以為直徑的圓記為圓,試問:過點(diǎn)能否引圓的切線，若能，求出這條切線與軸及圓的弦所對(duì)的劣弧圍成的圖形的面積；若不能，說明理由。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆重慶市高二12月月考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分13分）已知橢圓的頂點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合，它們的離心率之和為，若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，求橢圓的方程.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆山東省高三第二次質(zhì)量檢測(cè)文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分13分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)，在軸上，經(jīng)過點(diǎn)，,且拋物線的焦點(diǎn)為.

(1) 求橢圓的方程；

(2) 垂直于的直線與橢圓交于,兩點(diǎn)，當(dāng)以為直徑的圓與軸相切時(shí)，求直線的方程和圓的方程.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年北京市東城區(qū)高三上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題共13分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為橢圓的上頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△是等腰直角三角形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存在直線交橢圓于，兩點(diǎn)， 且使點(diǎn)為△的垂心（垂心：三角形三邊高線的交點(diǎn)）？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年陜西省五校高三第二次模擬測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型：解答題

（本小題滿分13分）已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切，分別是橢圓的左右兩個(gè)頂點(diǎn)， 為橢圓上的動(dòng)點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若與均不重合，設(shè)直線與的斜率分別為，證明：為定值；

（Ⅲ）為過且垂直于軸的直線上的點(diǎn)，若，求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

 

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