(Ⅱ)若..求證數(shù)列是等比數(shù)列.并求數(shù)列的前項和． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知數(shù)列中，

（Ⅰ）求證：是等比數(shù)列，并求的通項公式；

（Ⅱ）數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項和為，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍。

 

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數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1）．
（1）求證{an}是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式；
（2）等差數(shù)列{bn}的各項為正，其前n項和為Tn，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比數(shù)列，求Tn．

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己知數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=
1
2
an+n，n為奇數(shù)
an-2n，n為偶數(shù)

（1）求a2，a3；
（2）設(shè)bn=a2n-2，n∈N*，求證{bn} 是等比數(shù)列，并求其通項公式；
（3）在（2）條件下，求數(shù)列{an} 前100項中的所有偶數(shù)項的和S．

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設(shè)數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，a3+a5=2，S20=150，又bn=2an-2an+1(n∈N*)
（1）求a1，d；
（2）求證{bn}是等比數(shù)列，并求bn的通項公式；
（3）設(shè)k為某自然數(shù)，且滿足
lim
n→∞
(bkbk+1+bk+1bk+2+…+bnbn+1)=
1
96
，求k的值．

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已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=
1
2
an+n，n為奇數(shù)
an-2n，n為偶數(shù)

（1）求a2、a3、a4、a5；
（2）設(shè)bn=a2n-2，n∈N，求證{bn}是等比數(shù)列，并求其通項公式；
（3）在（2）條件下，求證數(shù)列{an}前100項中的所有偶數(shù)項的和S100＜100．

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1．    2．     3．a(chǎn)＝－2．     4.    5．    6．  

7．       8．     9．  10．     11．   12．0   13．    14．18

 

15．解：（Ⅰ）由得，，         3分

，                      5分

又，∴  。                                     7分

（Ⅱ）由可得，，                    9分

由得，,                                    12分

所以，△ABC面積是                              14分

 

 

17．解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，

∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．

在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，

∴CD＝2，AD＝4．

∴SABCD＝

．……………… 3分

則V＝．     ……………… 5分

（Ⅱ）∵PA＝CA，F(xiàn)為PC的中點，

∴AF⊥PC．            ……………… 7分

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．

∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．

∵E為PD中點，F(xiàn)為PC中點，

∴EF∥CD．則EF⊥PC．       ……… 9分

∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．…… 10分

（Ⅲ）證法一：

取AD中點M，連EM，CM．則EM∥PA．

∵EM 平面PAB，PA平面PAB，

∴EM∥平面PAB．   ……… 12分

在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，

∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．

∵MC 平面PAB，AB平面PAB，

∴MC∥平面PAB．  ……… 14分

∵EM∩MC＝M，

∴平面EMC∥平面PAB．

∵EC平面EMC，

∴EC∥平面PAB．   ……… 15分

證法二：

延長DC、AB，設(shè)它們交于點N，連PN．

∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，

∴C為ND的中點．         ……12分

∵E為PD中點，∴EC∥PN．……14分

∵EC 平面PAB，PN 平面PAB，

∴EC∥平面PAB．   ……… 15分

 

 

17．解：（Ⅰ）n≥2時，．     ………………… 4分

n＝1時，，適合上式，

∴．               ………………… 5分

（Ⅱ），．          ………………… 8分

即．

∴數(shù)列是首項為4、公比為2的等比數(shù)列．   ………………… 10分

，∴．……………… 12分

Tn＝＝．            ………………… 14分

18．解：（Ⅰ） …… 4分

＝                        …………………… 8分

 

 

 

 

（Ⅱ）當0≤t＜10時，y的取值范圍是[1200，1225]，

在t＝5時，y取得最大值為1225；               …………………… 11分

當10≤t≤20時，y的取值范圍是[600，1200]，

在t＝20時，y取得最小值為600．               …………………… 14分

（答）總之，第5天，日銷售額y取得最大為1225元；

第20天，日銷售額y取得最小為600元．         …………………… 15分

 

 

 

19. 解:(Ⅰ)設(shè)圓心,則,解得…………………(3分)

則圓的方程為,將點的坐標代入得,故圓的方程為

…………(5分)

(Ⅱ)設(shè),則,且…………………(7分)

==,所以的最小值為(可由線性規(guī)劃或三角代換求得)

…………(10分)

(Ⅲ)由題意知, 直線和直線的斜率存在,且互為相反數(shù),故可設(shè),

,由,得

……………………(11分)

  因為點的橫坐標一定是該方程的解,故可得………………………

(13分)

  同理,,所以=

  所以,直線和一定平行…………………………………………………………………(15分)

20．解：（Ⅰ），，．

∴，且．    …………………… 2分

解得a＝2，b＝1．                           …………………… 4分

（Ⅱ），令，

則，令，得x＝1（x＝－1舍去）．

在內(nèi)，當x∈時，，∴h(x)是增函數(shù)；

當x∈時，，∴h(x)是減函數(shù)．     …………………… 7分

則方程在內(nèi)有兩個不等實根的充要條件是……10分

即．                                               …………………… 12分

（Ⅲ），．

假設(shè)結(jié)論成立，則有

①－②，得．

∴．

由④得，

∴．即．

即．⑤                              …………………… 14分

令，（0＜t＜1)，

則＞0．∴在0＜t＜1上增函數(shù)．

，∴⑤式不成立，與假設(shè)矛盾．

∴．                     ……………………………16

 


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