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已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,焦點(diǎn)是,點(diǎn)到直線的距離為,過(guò)點(diǎn)且傾斜角為銳角的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn),使得.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)求直線l的方程.
【解析】(1)中利用點(diǎn)F1到直線x=-的距離為可知-+=.得到a2=4而c=,∴b2=a2-c2=1.
得到橢圓的方程。(2)中,利用,設(shè)出點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2).,借助于向量公式再利用 A、B在橢圓+y2=1上, 得到坐標(biāo)的值,然后求解得到直線方程。
解:(1)∵F1到直線x=-的距離為,∴-+=.
∴a2=4而c=,∴b2=a2-c2=1.
∵橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,∴所求橢圓的方程為+y2=1.……4分
(2)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2).由第(1)問(wèn)知
,
∴……6分
∵A、B在橢圓+y2=1上,
∴……10分
∴l(xiāng)的斜率為=.
∴l(xiāng)的方程為y=(x-),即x-y-=0.
已知橢圓長(zhǎng)軸|AA1|=6,焦距|F1F2|=4,過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F1作直線交橢圓于M、N兩點(diǎn),設(shè)∠MF1F2=α(0≤α≤180°),問(wèn)α為何值時(shí),|MN|等于橢圓短軸長(zhǎng).
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