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題目列表(包括答案和解析)

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)。

（1）證明：

（2）若數(shù)列的通項公式為，求數(shù)列 的前項和；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（3）設(shè)數(shù)列滿足：，設(shè)，

若（2）中的滿足對任意不小于2的正整數(shù)，恒成立，

試求的最大值。

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（本小題滿分14分）已知，點在軸上，點在軸的正半軸，點在直線上，且滿足，. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（Ⅰ）當點在軸上移動時，求動點的軌跡方程；

（Ⅱ）過的直線與軌跡交于、兩點，又過、作軌跡的切線、，當，求直線的方程.

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（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)

 （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

 （2）若當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

 （3）若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰好有兩個相異的實根，求實數(shù)的取值范圍。

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（本小題滿分14分）

已知，其中是自然常數(shù)，

（1）討論時, 的單調(diào)性、極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（2）求證：在（1）的條件下，；

（3）是否存在實數(shù)，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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（本小題滿分14分）

設(shè)數(shù)列的前項和為，對任意的正整數(shù)，都有成立，記。

（I）求數(shù)列的通項公式；

（II）記，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：對任意正整數(shù)都有；

（III）設(shè)數(shù)列的前項和為。已知正實數(shù)滿足：對任意正整數(shù)恒成立，求的最小值。

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一、選擇題（每小題5分，共60分）

1C、 2C、 3B、 4C、 5C、 6D、 7A、 8B、 9C、 10D、 11A、 12A

二、填空題（每小題4分，共16分）

13）5   14）2.6   15）48   16）①③④

三、解答題（本題共6小題，滿分共74分）

17、解：（1）因為。

所以1―2     ……………2分

所以

因為

所以   ……………………………6分

（2）……8分

因為

…10分

所以，原式………………………12分

18、解：（Ⅰ）當n=1時，………3分

（Ⅱ）（方法一）記輸入n時，①中輸出結(jié)果為，②中輸出結(jié)果為’則

……………5分

所以

…………

……………8分

（方法二）猜想    ……………5分

證明：（1）當n=1時，結(jié)論成立

（2）假設(shè)當n=k

則當n=k+1時，

所以當 n=k+1時，結(jié)論成立

故對，都有成立  ………………8分

     因為……………10分

所以

       ……………………………12分

19、解：（方法一）證明：設(shè)BD交AC于點O，連接MO，OF

因為四邊形ABCD是正方形

所以AC⊥BD，AO=CO

又因為矩形ACEF，EM=FM，

所以MO⊥AO

因為正方形ABCD和矩形ACEF所

在平面垂直

平面ABCD平面ACEF=AC

所以MO⊥平面ABCD

所以AM⊥BD

在,

所以BD=

所以AO=1，

所以四邊形OAFM是正方形，所以AM⊥OF

因為              …………………6分

 

 

（Ⅱ）設(shè)AM、OF相交于Q，過A作AR⊥DF于R，連接QR，因為AM⊥平面BDF，

所以QR⊥DF，則∠ARQ為二面角A―DF―B的平面角…………………9分

Rt△ADF中，AF=1，AD=，所以

Rt△AQR中，QR

所以二面角A―DF―B的余弦值為        ………………………12分

（方法二）以C為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系C―xyz，連接BD則A（，，0），B（0，，0）。

D（，0，0）

F（，，1），M（，，1）

所以

所以

所以所以AM⊥平面BDF…………6分

（Ⅱ）平面ADF的法向量為

平面BDF的法向量………………8分

    ……………………11分

所以二面角A―DF―B的余弦值為。    ……………………12分

20、解：設(shè)該人參加科目A考試合格和補考為時間，參加科目B考試合格和補考合格為時間相互獨立。

（Ⅰ）設(shè)該人不需要補考就可獲得證書為事件C，則C=

（Ⅱ）的可能取值為2，3，4.

則P（

  P

  P      …………………8分

所以，隨即變量的分布列為

  

2

3

4

P

所以      ………………12分

21、解：（Ⅰ）設(shè)所求雙曲線C的方程為-=1，

由題意得：

所以，所求曲線C的方程為          ……………3分

（Ⅱ）若弦PQ所在直線斜率K存在，則設(shè)其方程為y=k (x-2)

由

設(shè)點P

解得

此時點R到y(tǒng)軸的距離

而當弦PQ所在直線的斜率不存在時，點R到Y(jié)軸的距離為2，

所以，點R到Y(jié)軸距離的最小值為2。        ………………8分

（Ⅲ）因為直線L:x=m與以PQ為直徑的圓相切

所以雙曲線離心率e=，右準線方程為

所以|PQ|=|PF|+|QF|=2

所以，所以

因為       ………………12分

22、解：（1）因為

所以

取BC的中點D，則

因為

所以，點0在BC邊的中線上                ……………………………4分

（Ⅱ）因為

所以

所以

所以

所以               ………………………………5分

因為

又

=

所以       ……………………8分

因為

所以            …………………………………10分

（Ⅲ）由題意知

在(0,+∞)上恒成立。

令h(x)=

所以

所以h(x)在（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，所以 h(x)>h(0)=1   …………………13分

所以     …………14分

 

 


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