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一次高中數(shù)學(xué)期末考試，選擇題共有個(gè)，每個(gè)選擇題給出了四個(gè)選項(xiàng)，在給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：對(duì)于每個(gè)選擇題，不選或多選或錯(cuò)選得分，選對(duì)得分．在這次考試的選擇題部分，某考生比較熟悉其中的個(gè)題，該考生做對(duì)了這個(gè)題．其余個(gè)題，有一個(gè)題，因全然不理解題意，該考生在給出的四個(gè)選項(xiàng)中，隨機(jī)選了一個(gè)；有一個(gè)題給出的四個(gè)選項(xiàng)，可判斷有一個(gè)選項(xiàng)不符合題目要求，該考生在剩下的三個(gè)選項(xiàng)中，隨機(jī)選了一個(gè)；還有兩個(gè)題，每個(gè)題給出的四個(gè)選項(xiàng)，可判斷有兩個(gè)選項(xiàng)不符合題目要求，對(duì)于這兩個(gè)題，該考生都是在剩下的兩個(gè)選項(xiàng)中，隨機(jī)選了一個(gè)選項(xiàng)．請(qǐng)你根據(jù)上述信息，解決下列問(wèn)題：
（Ⅰ）在這次考試中，求該考生選擇題部分得分的概率；
（Ⅱ）在這次考試中，設(shè)該考生選擇題部分的得分為，求的數(shù)學(xué)期望．

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1．B       2．C       3．B       4．C       5．B       6．B       7．C      8．B       9．C       10．B 

11．C     12．D

【解析】

3．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上，恒成立即在上恒成立，可得

       當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上，恒成立

即在上恒成立

可得，對(duì)于任意恒成立

所以，綜上得．

4．解法一：聯(lián)立，得．

方程總有解，需恒成立

即恒成立，得恒成立

       ；又

的取值范圍為．

解法二：數(shù)形結(jié)合，因?yàn)橹本�恒過(guò)定點(diǎn)（0，1），要使直線與橢圓總有交點(diǎn)當(dāng)日僅當(dāng)點(diǎn)（0，1）在橢圓上或橢圓內(nèi)，即

       又

       的取值范圍為．

5．

7．展開(kāi)式前三項(xiàng)的系數(shù)滿足可解得，或（舍去）．從而可知有理項(xiàng)為，故C正確．

8．，欲使為奇函數(shù)，須使，觀察可知，、不符合要求，若，則，其在上是減函數(shù)，故B正確

當(dāng)時(shí)，，其在上是增函數(shù)，不符合要求．

9．等價(jià)于

畫圖可知，故．

10．如圖乙所示．設(shè)，點(diǎn)到直線的距離為，則由拋物線定義得，

又由點(diǎn)在橢圓上，及橢圓第一定義得

由橢圓第二定義得，解之得．

11．從52張牌中任意取13張牌的全部取法為；缺少某一種花色的取法為，缺少兩種花色的取法為，缺少三種花色的取法為，根據(jù)容斥原理可知四種花色齊全的取法為．

12．設(shè)中點(diǎn)為，連．由已知得平面，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連．則為所求，設(shè)，則，在

中可求出，則．

二、填空題

13．．

提示：可以用換元法，原不等式為也可以用數(shù)形結(jié)合法．

令，在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，由圖直觀得解集．

14．12．提示：經(jīng)判斷，為截面團(tuán)的直徑，再由巳知可求出球的半徑為．

15．．提示：由于得

解得，又

所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值．

16．①②④

三、解答題

17．懈：

，由正弦定理得，

又，

，化簡(jiǎn)得

為等邊三角形．

說(shuō)明；本題是向量和三角相結(jié)合的題目，既考查了向量的基本知識(shí)，又考查了三角的有關(guān)知識(shí)，三角形的形狀既可由角確定。也可由邊確定，因此既可從角入手，把邊化為角；也可從邊入手，把角化為邊來(lái)判斷三角形的形狀．

18．解：（1）在第一次更換燈泡工作中，不需要更換燈泡的概率為需要更換2只燈泡的概率為．

       （2）對(duì)該盞燈來(lái)說(shuō)，在第1、2次都更換了燈泡的概率為，在第一次未更換燈泡而在第二次需要更換燈泡的概率為，故所求的概率為．

       （3）當(dāng)時(shí)，

              由（2）知第二次燈泡更換工作中，某盞燈更換的概率

              故至少換4只燈泡的概率為

19．解：]

              因?yàn)楹瘮?shù)在處的切線斜率為

              所以

              即                                           ①

              又

              得                                      ②

       （1）函數(shù)在時(shí)有極值

                                    ③

              解式①②③得

              所以．

       （2）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間的值恒大于或等于零．

              則

              得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．

20．解：（1）連接因?yàn)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/6556977573ab79b844c6cb2d38dd862f.zip/73589.files/image231.gif" >平面，平面平面

所以；又為的中點(diǎn)，故為的中點(diǎn)

              底面

              為與底面所成的角

              在中，

              所以與底面所成的角為45°．

（2）解法一；如圖建立直角坐標(biāo)系

       則， 

                       設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

              故   

              點(diǎn)的坐標(biāo)為

              故．

       解法二：平面

              ，又

              平面

在正方形中，

．

21．解：（1）設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，點(diǎn)的坐標(biāo)為

當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的斜率為

直線過(guò)點(diǎn)

的方程為

又已知                                               ①

                                                           ②

                                                        ③

                                                ④

∴式①一式②得

          ⑤

③式+式④得

                             ⑥

              ∴由式⑤、式⑥及

              得點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程

                                        ⑦

當(dāng)時(shí)，不存在，此時(shí)平行于軸，因此的中點(diǎn)一定落在軸上，即的坐標(biāo)為,顯然點(diǎn)（，0）滿足方程⑦

綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程

設(shè)方程⑦所表示的曲線為

則由,

得

因?yàn)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/6556977573ab79b844c6cb2d38dd862f.zip/73589.files/image674.gif" >，又已知，

所以當(dāng)時(shí)． ，曲線與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，曲線與橢圓沒(méi)有交點(diǎn)，因?yàn)椋?，0）在橢圓內(nèi)，又在曲線上，所以曲線在橢圓內(nèi)，故點(diǎn)的軌跡方程為

（2）由解得曲線與軸交于點(diǎn)（0，0），（0，）

由解得曲線與軸交于點(diǎn)（0，0）．（，0）

當(dāng)，即點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，（，0）、（0，）與（0．0）重合，曲線與坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn)（0，0）．

當(dāng)，且，即點(diǎn)不在橢圓外且在除去原點(diǎn)的軸上時(shí)，曲線與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)（0，）與（0，0），同理，當(dāng)且時(shí)，曲線與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)（，o）、（0，0）．

當(dāng)，且時(shí)，即點(diǎn)不在橢圓且不在坐標(biāo)軸上時(shí)，曲線與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)（，0）、（0，）與（0，0）．

22．（1）解：，又

              是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．

              ．

       （2）證明：設(shè)數(shù)列的公比為，則條件等式可化為：

數(shù)列為等差數(shù)列，

       （3）證明：由題意知

                                                     ①

              式①得

                                                ②

              式①-式②得

              ．

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