題目列表(包括答案和解析)
已知點(diǎn)(),過點(diǎn)作拋物線的切線,切點(diǎn)分別為、(其中).
(Ⅰ)若,求與的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,若以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切,求圓的方程;
(Ⅲ)若直線的方程是,且以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切,
求圓面積的最小值.
【解析】本試題主要考查了拋物線的的方程以及性質(zhì)的運(yùn)用。直線與圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。
中∵直線與曲線相切,且過點(diǎn),∴,利用求根公式得到結(jié)論先求直線的方程,再利用點(diǎn)P到直線的距離為半徑,從而得到圓的方程。
(3)∵直線的方程是,,且以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切∴點(diǎn)到直線的距離即為圓的半徑,即,借助于函數(shù)的性質(zhì)圓面積的最小值
(Ⅰ)由可得,. ------1分
∵直線與曲線相切,且過點(diǎn),∴,即,
∴,或, --------------------3分
同理可得:,或----------------4分
∵,∴,. -----------------5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,則的斜率,
∴直線的方程為:,又,
∴,即. -----------------7分
∵點(diǎn)到直線的距離即為圓的半徑,即,--------------8分
故圓的面積為. --------------------9分
(Ⅲ)∵直線的方程是,,且以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切∴點(diǎn)到直線的距離即為圓的半徑,即, ………10分
∴
,
當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)取等號(hào).
故圓面積的最小值.
,,為常數(shù),離心率為的雙曲線:上的動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和的最小值為,拋物線:的焦點(diǎn)與雙曲線的一頂點(diǎn)重合。(Ⅰ)求拋物線的方程;(Ⅱ)過直線:(為負(fù)常數(shù))上任意一點(diǎn)向拋物線引兩條切線,切點(diǎn)分別為、,坐標(biāo)原點(diǎn)恒在以為直徑的圓內(nèi),求實(shí)數(shù)的取值范圍。
【解析】第一問中利用由已知易得雙曲線焦距為,離心率為,則長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2,故雙曲線的上頂點(diǎn)為,所以拋物線的方程
第二問中,為,,,
故直線的方程為,即,
所以,同理可得:
借助于根與系數(shù)的關(guān)系得到即,是方程的兩個(gè)不同的根,所以
由已知易得,即
解:(Ⅰ)由已知易得雙曲線焦距為,離心率為,則長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2,故雙曲線的上頂點(diǎn)為,所以拋物線的方程
(Ⅱ)設(shè)為,,,
故直線的方程為,即,
所以,同理可得:,
即,是方程的兩個(gè)不同的根,所以
由已知易得,即
1 |
3 |
2 |
3 |
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(Ⅰ)證明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)設(shè)E為棱PA上的點(diǎn),滿足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長(zhǎng).
【解析】解法一:如圖,以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).
(1)證明:易得,于是,所以
(2) ,設(shè)平面PCD的法向量,
則,即.不防設(shè),可得.可取平面PAC的法向量于是從而.
所以二面角A-PC-D的正弦值為.
(3)設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,0,h),其中,由此得.
由,故
所以,,解得,即.
解法二:(1)證明:由,可得,又由,,故.又,所以.
(2)如圖,作于點(diǎn)H,連接DH.由,,可得.
因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,
因此所以二面角的正弦值為.
(3)如圖,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118431693242163_ST.files/image044.png">,故過點(diǎn)B作CD的平行線必與線段AD相交,設(shè)交點(diǎn)為F,連接BE,EF. 故或其補(bǔ)角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,故
在中,由,,
可得.由余弦定理,,
所以.
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